. Группа 21 Т
Математика

Тема. Цилиндр. Конус. Усеченный конус. Осевые сечения цилиндра, конуса и усеченного конуса.
.Цель: научить решать задачи на нахождение площади полной поверхности тел вращения
Развивать внимательность, способность проводить аналогии.
Воспитать умение работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища.
Ход урока:
1. Орг.момент
2. Проверка выполнения д/з (разобрать нерешенные задачи)
3. Объяснение нового материала
Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Какие же основные тела вращения существуют?
1. Шар. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения полукруга вокруг диаметра разреза.
2. Цилиндр. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
3. Конус. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
4. Тор. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения окружности вокруг прямой, при этом окружность прямую не пересекает.
Стоит отметить такой интересный факт, что если вращаются контуры фигур, то у нас возникает поверхность вращения. Пример – сфера, которая образовывается в результате вращения окружности. Если же вращаются заполненные контуры, то у нас возникают тела. например, шар, который образовывается в результате вращения круга а круг, как всем известно, тело заполненное).
Тела вращения, разумеется, имеют свой объем и свою площадь. И то и другое, можно узнать с помощью теорем:
Первая теорема гласит о том, что площадь поверхности линии, которая образуется при вращении и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.
Вторая теорема говорит о том, что объем тела, который образуется при вращении фигуры и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Тела вращения

Цилиндр
S
бок = 2πRh

S
полн = 2πR 2
+ 2πRh

V = πR 2
h

Конус
S
бок = πRl

S
полн = πR(R + l)

V = 1
3 πR 2
h

Усеченный конус
S
бок = πl(R + r)

S
полн = S
бок + π(R 2
+ r 2
)

V = 1
3 πh(R 2
+ Rr + r 2
)

Шар
S
сферы = 4πR 2
= πd 2


V = 4
3 πR 3
= 1
6 πd 3


Шаровой сектор
S = πR(2h + a)

V = 2
3 πR 2
h

Шаровой сегмент
a 2
= h(2R - h)

S
бок = 2πRh = π(a 2
+ h 2
)

S
полн = π(2Rh + a 2
) = π(h 2
+ 2a 2
)

V = πh 2
(R - h
3 )

Шаровой пояс(слой)
V = 1
6 πh 3
+ 1
2 π(a 2
1 + a 2
2 )h



Математический диктант.
Каждая группа на листах формата А-4 создают в результате этого математического диктанта памятку с формулами.
1) Написать формулу для вычисления объёма цилиндра.
2).Написать формулу для вычисления объёма конуса.
3) Написать формулу для вычисления объёма усечённого конуса.
4) Написать формулу для вычисления площади круга.
5) Написать формулу для вычисления длины окружности.
Взаимопроверка математического диктанта.
4. Практическая работа в группах по вычислению объёмов тел.
Работа в группах. Класс разбивается на четыре группы, и коллективно выполняют задания. В конце урока каждая группа сдает решение заданий учителю. Оценки выставляются всей группе.
1 группа.
1. Найдите объем цилиндра с высотой, равной 3см и диаметром основания – 6см.
а)27п см3; б)9п см3 ; в)36п см3; г)18п см3; д)54п см3.
2. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 600. Найдите объем цилиндра, если площадь осевого сечения равна 16 см3.
а) 16п см3 ; б)16 см3; в)32п см3 г)8п см3; д)16п см3.
3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 21см3, площадь основания - 18п см2 Найдите объем цилиндра.
А)9п см3; б)31,5 см3, в)21п см3, г)63п см3, д)31,5п см3.
4. Найдите объем конуса , осевое сечение которого представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 6 см.
а) 18п см3, б)18п см3, в)6п см3, г)54п см3, д)6п см3.
5.Найдите объем конуса , полученного в результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 2 см, и углом 300.
А)18п см3, б)18п см3, в)6п см3, г)2п см3, д)6п см3.
2 группа.
Какие поверхности получаются при вращении трапеции вокруг большого основания?
(Боковые поверхности двух конусов и цилиндра.)
Вы руководитель предприятия. Поставщик, указывая на кучу угля, имеющую коническую форму, предлагает вам вывезти ее, утверждая, что в ней такое-то количество тонн. Какие измерения вы можете выполнить, чтобы узнать объем этой кучи и убедиться, что вас не вводят в заблуждение?
Две банки. Которая из двух банок вместительнее – правая широкая или левая, втрое более высокая, но вдвое более узкая?
На склад в мастерской по пошиву одежды поступил рулон драповой ткани в форме цилиндра. При транспортировке был утерян товарный ярлык с указанием длины ткани в рулоне. Необходимо определить длину ткани в рулоне. Произвели необходимые измерения, определили высоту и диаметр рулона: 90см и 30см, толщина ткани 0,2см.
3 группа.
1. Сосуд цилиндрической формы наполнен молоком. Можно ли вылить ровно половину молока, не используя измерительные приборы?
(Нужно выливать, пока не появится дно)
2. Из прямоугольного листа бумаги размером a•b можно свернуть две различные поверхности кругового цилиндра. Чему равны радиусы каждого из этих цилиндров? Равны ли объемы полученных цилиндров?
(R1 = ; R2 = ; V1 V2).
3. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25 м?

= 11,4 г/см3
R1 = 6,5мм + 4мм = 10,5мм = 1,05см (наружный)
R2 = 6,5мм = 0,65см
V = V1 – V2 = • (1,05)2•2500 - • 0,652 •2500 =1700 5338 (см3)
M = •V = 11,4•5338 61кг.
4. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определить массу стога сена.
R = 2,5м
01ОО1 = 4м
О1О2 = 2,2м
= 0,03г/см3
m = •V; Vц = •2,52 •2,2 = 13,75 м3= 13750000см3
Vк = 1/3 • 2,52 •1,8 = 3,75м3 = 3750000 см3
M = 0,03 • 17500000 = 0,525 т 1,6 т

4 группа.
1. Какие поверхности получаются при вращении трапеции вокруг большого основания?
(Боковые поверхности двух конусов и цилиндра.)
2. Два тела получены в результате вращения одной и той же равнобедренной трапеции вокруг каждого из оснований. Равны ли поверхности получившихся тел вращения?
(Нет.)
3. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

OA = 12 см
BC = d = 5 см
Переполнит ли мороженое стаканчик?
V ш = 4/3 R3 (5/2)3 = 125 /6 20
Vк = 1/3 R2H = 1/3 (5/2)2•12 = = 25
Ответ: нет.
4. Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметра 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см3?
H = 7м; d = 1м; нефти = 0,85 г/см3
m =?
Vц = R2H = •92•7 = 567 (м3)
m = V• 1513 т

5. Домашнее задание. .