. Дайындаған:


Математика пәнінің жоғары санатты мұғалімі
Утешов Халел Хайноллаұлы





қаңтар 2013 жыл
Аудандық олимпиада
9 сынып. 2005 ж

а,в,с-үшбұрыштың қабырғалары болсын. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі О-нүктесі АА1 биссектрисасын АО:А1О=(в+с):а қатынасында бөлетіндігін
дәлелдеңдер.



Шешуі: , х= ,
BA1= a- = = ,

AO:A1O=c: = :a д.к.о

9 сынып. І тур. 2006ж

Үшбұрыштың екі медианасы перпендикуляр орналасқан, ma┴mb , үшбұрыштың қабырғалары: a, b, c

Дәлелдеу керек: 5с2= а2+в2





9-сынып. 1-тур. 2008ж

Табаны АД болатын АВСД трапециясы берілген. М нүктесі А және В төбелеріндегі
сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі, ал N нүктесі С және
Д төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі.
МN кесіндісі трапеция периметрінің жартысына тең екендігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеу керек MN=
P=
Шешуі: ∆АВМ -тік бұрышты үшбұрыш, себебі ішкі тұстас бұрыштардың биссектрисалары тік бұрыш жасап қиылысады.
Тікбұрышты үшбұрыштың тікбұрышының медианасы гипотенузаның жартысына тең.
ME= сол сияқты FN= EF=
ME+EF+FN= + + =

9 сынып. ІІ тур. 2008ж

Берілгені: а,в,с- үшбұрыштың қабырғалары және
а+в+с=2

Дәлелдеу керек: а2 +в2 +с2 <2(2-авс) екендігін.

Дәлелдеу жолы: а,в,с- үшбұрыштың қабырғалары болғандықтан, мына теңсіздіктер тура болады: бағандап көбейтуге болады, өйткені а>0 в>0 с>0
(а+в)(в+с)(а+с)>авс
(ав+ас+в2 +вс)(а+с)=а2в+а2с+ав2+авс+авс+ас2+в2с+вс2>авс
ав(а+в+с)+ас(а+в+с)+вс(в+с-а)>0
в+с=2-а болғандықтан 2ав+2ас+вс(2-а-а)>0
2ав+2ас+вс(2-2а)>0 бұдан 2ав+2вс+2ас=4- 4-(а2+в2+с2 )>2авс 4-2авс>а2+в2+с2 2(2-авс)> а2+в2+с2 д.к.о

9 сынып. ІІ тур. 2007ж

Берілгені: кез-келген а,в,с-теріс емес сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңдер:
ав+вс+ас≥
Шешуі: Теңсіздіктің екі жағын авс-ға бөлуге болады, себебі берілгені бойынша а ,в, с - оң сандар.
≥ ≥ теңсіздіктің екі жағын квадраттаймыз, сонда теңсіздік мынадай түрге келеді:

≥
≥ теңсіздіктің екі жағын 2-ге көбейтіп, айырманың квадратына келтіреміз.
≥
≥0 д.к.о.

9 сынып. ІІ тур. 2006ж

Диаметрі d-ға тең дөңгелекте өзара перпендикуляр АВ және CD хордалары жүргізілген. AC2+BD2=d2
болатынын дәлелдеу керек.
Шешуі: AD2=AE2+ED2 SABD= SABD=

=
SACD= SACD=
=

Бұдан шығады.

Есептеңдер:

Шешуі: Қосылғыштарды бағандап жазамыз, сонда әрбір жол геометриялық прогрессияның қосындысы болады.
22+23+24+25+26+27+28+29+210
22+23+24+25+26+27+28+29+210
23+ ..............................+210
24+.........................+210
..........................
......................
29+210
210
т.с.с. Бәрін қосамыз, сонда Жауабы:

10 сынып. 1 тур. 2006ж

Берілген теңдіктерін қанағаттандыратын барлық x,y,z нақты сандарын тап.

Жүйедегі теңдіктерді бағандап қосамыз, сонда


Жүйенің теңдіктерін 2-ге бөлеміз, сосын квадраттаймыз, айырманың квадратына келтіреміз де түбірін табамыз.



Жүйенің теңдіктерін бағандап қосайық



Теңдіктің сол жағы нөлге тең, олай болса оң жағы да нөлге тең болады

бұл теңдік орындалуы үшін шарты орындалуы қажет.

10 сынып. ІІ тур. 2008ж

АВС үшбұрышында теңдігі орындалады.
< екендігін дәлелдеңдер.

Биссектрисаның қасиеті бойынша DC табамыз:
∆BDC-тең бүйірлі, өйткені


Үшбұрыштың қабырғаларының теңсіздігі бойынша: >а
>а 2ав>
2в> а+с > д.к.о.

11 сынып. І тур. 2007ж

Нақты х және у сандары келесі шарттарды қанағаттандырады: Онда натурал сан екенін дәлелдеңіз және оны табыңыз.

Шешуі







Сонымен, д.к.о.
11 сынып. ІІ тур. 2007ж

Қай сан үлкен?



Шешуі: 2007=a деп алсақ,


<1 және >1

Сонымен, < д.к.о.

10 сынып. ІІ тур 2007ж

1-ден 127-ге дейінгі натурал сандарды топтағы сандардың қосындылары өзара тең бірнеше (бірден артық) топқа бөлген. Осындай топтардың саны жұп болатынын дәлелде.
Шешуі: Тақ сандар мен жұп сандар тізбегін айырып аламыз, екеуі де арифметикалық прогрессия болады.
1+3+5+......+125+127=Sт
2+4+6+......+124+126=Sж

қосындысын табамыз:

Sж
Сонымен, екі сандар тобы пайда болды. Тақ сандардың қосындысы жұп сандардың қосындысынан 64-ке артық, екі қосындыны теңестіру үшін 32 санын жұп сандарға қосу қажет. Сонда екі топтың қосындысы теңеседі:

Өзара тең екі топтан өзара тең бірнеше топтар құрастыруға болады, олардың саны жұп болады.

9 сынып. І тур. 2008ж

Дәлелдеңдер: <
<


болғанда

11 сынып.

Теңдеулер жүйесін шешіңдер. xyz≠0 болсын, жүйенің теңдеулерін xyz-ке бөліп мынадай жүйе аламыз: бағандап қоссақ мынау шығады:

Шыққан теңдеуді (1) жүйенің әрбір теңдеуімен қоссақ мынадай жүйе аламыз:



9 класс ІІ тур 2007ж

1) Офисте жұмыс істейтін 94 қызметкердің әрбіреуі әлде қазақша, әлде орысша біледі. Қазақша сөйлейтіндердің 70%-і орысша біледі, ал орысша сөйлейтіндердің 80%-і қазақша біледі.Офисте қанша қызметкер екі тілде сөйлейді?

Шешуі:


80 қызметкер қазақ тілін біледі, 80∙0,7=56 қызметкер екі тілде сөйлейді.
10-сынып 2-тур 2007ж
2) Иесі кодты дипломатты ашатын үш цифрды ұмытып қалды, (000-999). Бірақ ол үш цифрдың қосындысы 15-ке тең екендігін біледі. Дипломатты ашу мүмкіндігінің ең аз саны қанша?
Шешуі:

069 078 159 168 177 294 285 276 555 393 384 375 366 447 456
6 6 6 6 3 6 6 6 1 3 6 6 3 3 6

Дипломатты ашу мүмкіндігінің ең аз саны: 73

АВС үшбұрышының АР биссектриссасы жүргізілген. BP=16 PC=20 ABP үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі АС қабырғасында жатыр. АВ-ны тап.
AB=x деп алайық, сонда
(центрлік бұрыштар)



Қиюшылардың қасиетін қолданамыз:


9 - сынып І тур 2010 жыл

Өрнекті ықшамдаңдар:

10-сынып 2009ж

Теңсіздікті дәлелдеңдер: (х,у>0)

Екі жағын квадраттаймыз, сонда



Сол жаққа жинап ортақ бөлімге келтіреміз, сонда


д.к.о.

Алматы қаласындағы Жәутіков конкурсы. 2009ж

АВСД трапециясының диагоналдары О нүктесінде АО:ОС=3:1 қатынасында қиылысады және АОД үшбұрышының ауданы 36-ға тең. Трапецияның ауданын табыңыз.
А) 81 В) 108 С) 96 Д) 58 Е) 64


Шешуі: S∆AOD=36
SMBCA=SBCED=1z∙h S∆CDE= SBCD=16 SABC=16

Сонымен Sтр=36+16+16-4=64. ∆AOD~∆BOC

9-сынып 2010 жыл

а+в+с=х+у+z теңдігін қанағаттандыратын теріс емес а,в,с және оң х,у,z нақты сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:


Шешуі: теңсіздіктің сол жағына Коши теңсіздігін қолданамыз, сонда





8-сынып 2009ж

Сүйір бұрышты АВС үшбұрышының АВ және АС қабырғаларының орталарын сәйкесінше М және N
деп белгілейік. Олай болса, ВС қабырғасынан алынған кез-келген S нүктесі үшін болатынын
дәлелдеңдер.

Егер S нүктесі ВС қабырғасының ортасы болса,

Егер S болса, <МДВ< <МДS, сондықтан МВ<МS
МВ-МS<0 <NCS< <NSC болғандықтан NS<NC
NC-NS>0
Егер S болса, керісінше болады.





10-сынып 2-тур 2011 ж
Қосындысы 2-ге тең оң нақты х,у,z сандары үшін
теңсіздікті дәлелдеңдер:

Шешуі: Теңсіздіктің екі жағын 2-ге көбейтеміз, сонда







Теңсіздіктің оң жағының теріс екендігін дәлелдесек
жеткілікті. немесе

Теңсіздікті 2-ге көбейтіп, сол жағына Коши теңсіздігін
қолданамыз:
бұдан шығады:
жақшаларды ашайық, сонда

д.к.о
11-сынып 2011 жыл

Қосындысы 1-ге тең оң нақты a,b,c сандары үшін
теңсіздікті дәлелдеңдер:
abc≤(ab+bc+ca)(a2+b2+c2)2

Шешуі: Кез-келген оң нақты а,в,с сандары үшін мына теңсіздік тура екендігін білеміз:
а+в+с=1 болғандықтан,
Берілген теңсіздікті (авс)-ға бөлуге болады:
,
бұдан
Сонда теңсіздігі тура,
өйткені бірінші қосылғыш 9-дан кем емес, екінші
қосылғыш 1-ден артық. д.к.о.

9-сынып 2011 жыл

АВСД квадратының сыртынан АР=АВ және
болатындай етіп Р нүктесі алынған. бұрышының
мүмкін ( градустық) мәндерін анықтаңдар.

10-сынып. 2011 ж

Кез-келген натурал n>1 және k>1 сандары үшін
nk+2-nk саны 12-ге қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер.

9-сынып 2010 ж

m натурал саны үшін 8m санының ондық жазбасындағы
цифрлардың қосындысы 8-ге тең екені белгілі.
Осы 8m санының соңғы цифры 6-ға тең болуы мүмкін
бе?

10-сынып 2010 ж

АВСД параллелограмының В бұрышы доғал. АД
түзуі АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңберін
Е≠А нүктесінде қияды, ал СД түзуі шеңберін F≠C
нүктесінде қияды. Онда DEF үшбұрышына сырттай
сызылған шеңбердің центрі -да жататынын дәлелдең-
дер.
11-сынып 2011 ж

CK және BL биіктіктері үшін AB+CK=AC+BL теңдігі
орындалатын барлық АВС үшбұрыштарын сипаттаңдар.



Мұғалімдердің облыстық олимпиадасы
желтоқсан-2011

1) а,в,с >0 үшін >2 теңсіздігін
дәлелдеңдер.

2) Кез-келген натурал n үшін мына теңсіздікті
математикалық индукция әдісімен дәлелдеңдер:

3) 22225555+55552222 қосындысы 7-ге бөлінетінін
дәлелдеңдер.

4) Төбелері (0;0), (1;0), (1;1) және (0;1) нүктелерінде
болатын квадратқа кездейсоқ М(х,у) нүктесі
тасталады. С={(х,у): х2+у2≤а2,а>0} оқиғасының
ықтималдығын табу керек.

5) SАВСД тіктөртбұрышты пирамиданың табаны
АВСД, барлық бүйір жақтарының аудандары
тең. жазықтығы оның SA,SB,SC,SD бүйір
қырларын сәйкесінше А1,В1,С1,Д1 нүктелерінде
қияды және SA1B1C1D1 пирамидасының
көршілес екі бүйір жағының аудандары тең болады. Осы пирамиданың қалған екі бүйір
жақтарының аудандарының тең болатынын
дәлелдеңдер.
6) Жазықтықта қызыл, көк және жасыл түсті
15 әртүрлі нүктелер алынған. Басқа түсті нүкте-
лер жоқ. Қызыл және көк түсті нүктелердің
барлық парларының ара қашықтығы 51, дәл
осылайша қызыл және жасыл нүктелердің ара
қашықтығы 39, ал көк және жасыл нүктелердің
ара қашықтығы 1. Жазықтықта қанша қызыл,
көк, жасыл нүктелер алынған?
(Мүмкін жағдайлардың барлығы қарастырылуы керек).

Құрметті әріптестер!

Облыстық олимпиада есептерінің шешу жолдарын интернетке жіберулеріңізді сұраймын.

Сәлеммен Халел Хайноллаұлы
Зеленов ауданы Батыс қазақстан облысы

2012 жылғы оқушылардың Республикалық математикалық олимпиадасының тапсырмалары

Жұмыс уақыты-4 сағат
Әр есеп 7 ұпайға бағаланады.

9-сынып 2-тур

1) Қаржы министрі мемелекетте айналысқа тек қана
33 және 60 ақша бірлігіне тең монеталар түсетінін
бекітті. Егер олардың әрқайсысында монеталардың
әр түрі жеткілікті мөлшерде болса, сатып алушы
сатушыға қандай ең аз оң соманы төлей алады?

Шешуі: 33•11=363; 60•6=360; 33•11-60•6=363-360=3
Жауабы: 3 теңге төлей алады.

10-сынып 1-тур

1) Бөлменің тіктөртбұрыш пішіндес еденіне өлшемдері бірдей квадрат плиткалар төселген.
Еденнің шеткі жиектері қызыл плиткалармен көмке-
ріліп, ал ішкі ауданы жасыл плиткалармен жабылған.
Қолданылған қызыл және жасыл плиткалардың саны
бірдей болса, барлығы қанша плитка төселген?

-плитка
а+2


а,в- ішкі тіктөртбұрыштың өлшемдері болса, (а+2), (в+2)- сыртқы тіктөртбұрыштың өлшемі болады.
а•в- ішкі тіктөртбұрышқа төселген плиткалардың саны,
2•(а+2)+2в- сыртқы тіктөртбұрыштың жиегіне төселген
плиткалардың саны болады. Есептің берілуі бойынша
қызыл және жасыл плиткалардың сандары бірдей,
а•в=2а+4+2в, бұдан а-ны b арқылы өрнектейміз,
; бөлшегінің мәні натурал сан
болатындай b-ның мәндерін табамыз:

в=3 болса, а=10, а•в=30 плитка
в=10 болса, а=3, 3•10=30 плитка
в=6 болса, а=4, 4•6=24 плитка
в=4 болса, а=6, 6•4=24 плитка

Жауабы: 24 плитка және 30 плитка төселген.
11-сынып 2012

а параметріне тәуелді етіп, теңдеулер жүйесінің
нақты (х;у) шешімдер парларының санын табыңдар:
Графиктік тәсілмен шешейік.
Бұл функцияның графигі төбелері (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1) нүктелерінде болатын квадрат.

- центрі О(0;0) нүктесінде, радиусы R=
болатын шеңбер.


Егер a=1=R2, R=1 болса, шеңбер квадратқа сырттай
сызылады да, жүйенің шешімдері мынандай болады:
(1:0), (0:1), (-1:0), (0:-1)
Егер , болса, шеңбер квадратқа іштей сызылады, онда жүйенің шешімдері:
3) Қыз бала бауыры екеуі үшбұрыш пішінді пиццаны
былайша бөліп жеуге келісті. Алдымен қыз үшбұрыш ішінен кез-келген нүктені таңдайды. Сонан соң бауыры
сол нүкте арқылы өтетін түзу бойымен пиццаны екіге
бөліп, қалаған бөлігін алады.Үшбұрыштың қай нүктесі,
қыз оны таңдаған жағдайда, оған мүмкіндігінше ауданы ең үлкен пицца бөлігін алуға кепілдік береді?



Қыз бала медианалардың қиылысу нүктесін таңдауы
керек, себебі О-нүктесі ауырлық нүктесі.
Жеке жағдайларды қарастырайық:
1) Егер ер бала О-нүктесін үшбұрыштың төбесімен
қосса, пицца екеуіне тең бөлінеді.
2) Егер О-нүктесі арқылы өтіп, үшбұрыштың қабырғасына параллель түзу арқылы кессе, онда
пицца мынандай қатынаста бөлінеді:

10-сынып. 2012 жыл

1) Нақты с және d сандары төмендегі теңдеулер
жүйесін қанағаттандырады:
с+d қосындысын табыңыз.

Шешуі:

Жаңадан айнымалы енгізейік:
, жүйенің теңдіктерін қосайық:
, бұдан , , бұдан шығады: c+d=2

11-сынып 2012 жыл

1) Теңдеудің барлық нақты түбірлерін табыңдар:
ортақ бөлімге келтіріп ықшамдаған соң,
мынандай теңдік аламыз:

, бұдан шығады:

2) саны жай сан болатын барлық бүтін n санын
табыңдар.
Шешуі: деп алайық, х-жай сан болуы керек.
,

аралығында жай сандар: 2;3; 5. Осы жай сандарды
х-тің орнына қойып, n-нің бүтін мәндерін табамыз.


10-сынып 2011 ж

Қосындысы 2-ге тең оң нақты х,у,z сандары үшін
теңсіздікті дәлелдеңдер:

Шешуі: Теңсіздіктің екі жағын 2-ге көбейтеміз, сонда







Теңсіздіктің оң жағының теріс екендігін дәлелдесек
жеткілікті. немесе

Теңсіздікті 2-ге көбейтіп, сол жағына Коши теңсіздігін
қолданамыз:
бұдан шығады:
жақшаларды ашайық, сонда


11-сынып 2011 жыл

Қосындысы 1-ге тең оң нақты a,b,c сандары үшін
теңсіздікті дәлелдеңдер:
abc≤(ab+bc+ca)(a2+b2+c2)2

Шешуі: Кез-келген оң нақты а,в,с сандары үшін мына теңсіздік тура екендігін білеміз:
а+в+с=1 болғандықтан,
Берілген теңсіздікті (авс)-ға бөлуге болады:
,
бұдан
Сонда теңсіздігі тура,
өйткені бірінші қосылғыш 9-дан кем емес, екінші
қосылғыш 1-ден артық. д.к.о.

8-сынып 2012 жыл. 1-тур

Теңдеуді шешіңдер: ;
Жаңадан айнымалы енгізу керек, деп алсақ есеп жеңіл шешіледі.

9-сынып 2012 жыл. 1-тур

санының ондық жазбасында қанша цифр бар?
Шешуі:

9-сынып. 2012 жыл. 2-тур

Қаржы министрі мемлекетке айналысқа тек қана 33 және 60 ақша бірлігіне тең монеталар түсетінін бекітті. Егер олардың әрқайсысында монеталардың әртүрі жеткілікті болса, сатып алушы сатушыға қандай ең аз оң соманы төлей алады?

Шешуі: 33•11=363; 60•6=360; 33•11-60•6=363-360=3
Жауабы: 3 теңге төлей алады.

10-сынып 1-тур 2012 жыл

3) Бөлменің тіктөртбұрыш пішіндес еденіне өлшемдері бірдей квадрат плиткалар төселген. Еденнің шеткі жиектері қызыл плиткалармен көмкеріліп, ал ішкі ауданы жасыл плиткалармен жабылған. Қолданылған қызыл және жасыл плиткалардың саны бірдей болса, барлығы қанша плитка төселген?

-плитка
а+2


а,в- ішкі тіктөртбұрыштың өлшемдері болса, (а+2), (в+2)- сыртқы тіктөртбұрыштың өлшемі болады.
а•в- ішкі тіктөртбұрышқа төселген плиткалардың саны,
2•(а+2)+2в- сыртқы тіктөртбұрыштың жиегіне төселген
плиткалардың саны болады. Есептің берілуі бойынша
қызыл және жасыл плиткалардың сандары бірдей,
а•в=2а+4+2в, бұдан а-ны b арқылы өрнектейміз,
; бөлшегінің мәні натурал сан
болатындай b-ның мәндерін табамыз:

в=3 болса, а=10, а•в=30 плитка
в=10 болса, а=3, 3•10=30 плитка
в=6 болса, а=4, 4•6=24 плитка
в=4 болса, а=6, 6•4=24 плитка

Жауабы: 24 плитка және 30 плитка төселген.
10-сынып. 2012 жыл. 1-тур

3) Қыз бала бауыры екеуі үшбұрыш пішінді пиццаны
былайша бөліп жеуге келісті. Алдымен қыз үшбұрыш ішінен кез-келген нүктені таңдайды. Сонан соң бауыры
сол нүкте арқылы өтетін түзу бойымен пиццаны екіге
бөліп, қалаған бөлігін алады.Үшбұрыштың қай нүктесі,
қыз оны таңдаған жағдайда, оған мүмкіндігінше ауданы ең үлкен пицца бөлігін алуға кепілдік береді?



Қыз бала медианалардың қиылысу нүктесін таңдауы
керек, себебі О-нүктесі ауырлық нүктесі.
Жеке жағдайларды қарастырайық:
1) Егер ер бала О-нүктесін үшбұрыштың төбесімен
қосса, пицца екеуіне тең бөлінеді.
4) Егер О-нүктесі арқылы өтіп, үшбұрыштың қабырғасына параллель түзу арқылы кессе, онда
пицца мынандай қатынаста бөлінеді:

10-сынып. 2012 жыл

1) Нақты с және d сандары төмендегі теңдеулер
жүйесін қанағаттандырады:
с+d қосындысын табыңыз.

Шешуі:

Жаңадан айнымалы енгізейік:
, жүйенің теңдіктерін қосайық:
, бұдан , , бұдан шығады: c+d=2

11-сынып 2012 жыл

1) Теңдеудің барлық нақты түбірлерін табыңдар:
ортақ бөлімге келтіріп ықшамдаған соң,
мынандай теңдік аламыз:

, бұдан шығады:

2) саны жай сан болатын барлық бүтін n санын табыңдар.

Шешуі: деп алайық, х-жай сан болуы керек.
,

аралығында жай сандар: 2;3; 5. Осы жай сандарды х-тің орнына қойып, n-нің бүтін мәндерін табамыз.

11-сынып. 2012 жыл. 1-тур

Әрқайсысының радиустары 1-ге тең үш шеңбер О нүктесінде қиылысады. Шеңберлер бұл нүктеден басқа
А,В,С нүктелерінде бір-бірімен тағы да қиылысады.
АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы 1-ге тең екенін дәлелдеңдер.

2012-2013 оқу жылының математикадан оқушылардың Республикалық олимпиадасының аудандық кезеңі

8-сынып. 1-тур. 2013 ж

1+2+22+23+.....+277 саны 7-ге қалдықсыз бөліне ме?
Жауабы: 7-ге бөлінеді.

8-сынып. 2-тур. 2013 ж

Егер х+у=4 және х2+у2=10 екені белгілі болса,
х4+у4 өрнегінің мәнін табыңдар.
Жауабы: 82



9-сынып 1-тур. 2013 жыл.

1) санының ондық жазбасында 9 цифры қанша рет кездеседі?
Шешуі:

Түсінікті болу үшін бағандап азайту керек,
Жауабы: тоғыз цифры 199 рет кездеседі.

2) және
сандарын салыстырыңдар.
Шешуі: деп алайық, екені белгілі.
А-В айырмасын есептейік, себебі берілуі бойынша а>1, олай болса А>В

9-сынып 2-тур 2013 ж

1) Кез-келген n саны үшін тепе-теңдігі
орындалатынын дәлелдеңдер. Мұнда k!=1•2•….•k

Математикалық индукция әдісін қолданамыз,
n=1 болғанда, 1•1!=(1+1)!-1 ақиқат.
n=k болғанда, 1•1!+2•2!+….+k•k!=(k+1)!-1 дұрыс делік.
n=k+1 үшін дұрыс екендігін дәлелдейік,

1•1!+2•2!+….+k•k!+(k+1)•(k+1)!=(k+2)!-1
(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=(k+2)!-1 , бұдан шығады,
(k+1)!(1+k+1)=(k+1)!(k+2)=(k+2)!

2) Кеше ойын алаңындағы ұл балалардың саны қыз балаларға
қарағанда біржарым есе көп болды. Бүгін ұл балалардың саны
қыз балалардың санының квадраты болып тұр және кешегімен салыстырғанда, ұл балалардың саны 6-ға, ал қыз балалардың саны 7-ге кеміген. Кеше ойын алаңындағы барлығы қанша бала
болған еді?
Жауабы: ұлдар-42, қыздар-28, барлығы-70.

10-сынып 1-тур 2013 ж

1) Ұлының туған күнін тойлап жатып, әкесі оның атасына былай
деп тіл қатты:- Бүгін ұлымның жасы, менің жасым және сіздің жасыңыз-бәрі жай сандар.-Иә, ал бес жылдан соң біздің жастарымыздың бәрі толық квадраттар болады,- деп атасы жауап қайтарды. Немересі туған кезде атасы қанша жаста еді?

Жауабы: бүгін немересі 11-де, әкесі 31-де, атасы 59-да.
Бес жылдан соң немересі 16-да, әкесі 36-да, атасы 64-те болады.

2) Кез-келген натурал n саны үшін 2•3n ≤ 2n + 4n теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер. Теңдік қашан орындалатынын дәлелдеңдер?
Шешуі: Математикалық индукция тәсілін қолданамыз,
n=1 болғанда 2∙31≤21+41 6=6
n=k болғанда 2∙3k≤2k+4k тура делік.
n=k+1 болғанда, 2∙3k+1≤2k+1+4k+1 теңсіздіктің тура екендігін дәлелдейік.
2∙3∙3k≤2∙2k+4∙4k, 3∙3k≤2k+2∙4k, 3k+2∙3k≤(2k+4k)+4k

11-сынып 1-тур 2013 ж

Шеңберге іштей сызылған трапецияның бүйір қабырғаларының ұзындықтарының қосындысы , биіктігі 6, ал ауданы 72 болса, шеңбердің радиусын табыңдар.

Шешуі: АЕ=2см

бұдан а=10см, ВС=10см.
жүйені шешкенде х=1 шығады, радиусты табамыз: R2=49+1=50см2

11-сынып 2-тур 2013 ж

2а•3b-3b+1+2a=13 теңдеуін теріс емес бүтін сандар жиынында шешіңдер.
Шешуі: 3b(2a-3)+(2a-3)=10
(2a-3)(3b+1)=10=1•10=10•1=5•2=2∙5
1) 2a-3=1 болса, 2a=4, a=2. 3b+1=10, 3b=9, b=2.
2) 2a-3=10, 2a=13 бұлай болмайды, себебі есептің шарты бойынша а мен b теріс емес бүтін сандар.
3) 2a-3=5, 2a=8, a=3. 3b+1=2, 3b=1, b=0.
Сонымен жауабы: (2;2) және (3;0)

11-сынып 2-тур 2013 ж

Үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтары
теңдігін қанағаттандырады. Осы үшбұрыштың мәні ортаншы болатын бұрышын табыңыз.

Шешуі: a+b+c=p деп белгілейік, сонда есептің берілуі былай жазылады, , ортақ бөлім: p(p-c)(p-a);
p(p-a)+p(p-c)=3(p-c)(p-a)
(a+b+c) (b+c)+(a+b+c)(a+b)=3(a+b)(b+c)
ab+ac+b2+bc+bc+c2+a2+ab+ab+b2+ac+bc=3ab+3ac+3b2+bc.
a2-b2+c2-ac=0.
бұдан шығады:


11-сынып 1-тур 2013 ж

2) Бізге * амалының мынадай қасиеттері белгілі:
және
өрнегінің мәнін табыңдар

3) 10х+11х+12х=13х+14x теңдеуін нақты сандар жиынында
шешіңдер.
Жеке жағдайларды қарастырамыз, x=2 болғанда

102+112+122=132+142, 365=365. .