. Батыс Қазақстан облысы
Теректі ауданы
Федоровка қазақ жалпы орта білім беретін мектебі

ҰБТ –ке дайындық
( стреометрия курсының есептерінің шығару жолдары)

Айнагүл Хабиболлақызы Хайрова

І санатты математика және информатика пәнінің мұғалімі

2011-2012 оқу жылы

Федоровка қазақ жалпы орта білім беретін мектебінің І санатты математика және информатика пәнінің мұғалімі Айнагүл Хабиболлақызы Хайрованың
«ҰБТ –ке дайындық» ( стреометрия курсының есептерінің шығару жолдары) жинағына

Пікір

Есептер жинағында, бірнеше жылдардан бері ҰБТ-де кездесіп отырған стреометрия курсы есептерінің шығару жолдары және оларға сәйкессызбаларымен көрсетілген.
Жинақ 8 бөлімнен тұрады. Әр бөлімге қысқаша анықтамалық мәліметтер мен формулалар берілген. Құрастырылған есептер жинағы ҰБТ-ке даярланушыларға, өз беттерімен жұмыстану барысында үлкен көмек көрсетеді.
Мұғалімнің «ҰБТ –ке дайындық» есептер жинағы талапқа сай орындалған және бекітуге ұсынылады.

Пікір айтушы: Федоровка қазақ жалпы орта білім беретін мектебінің жоғары санатты математика пәнінің мұғалімі Р.З.Кулекешова

І бөлім Жазықтықтардың қасиеттері
2003ж
№1(4 нұсқа №28)
А нүктесі жазықтықтан 18 см қашықтықта жатыр. Осы нүктеде өтетін және жазықтықпен 600 бұрыш жасайтын көлбеудің ұзындығын табыңыз.
AD=18, <AKD=600
AK-?

AK=18
2004 ж
№2. (12 нұсқа №28)
АВС үшбұрышы a жазықтығындағы MNK үшбұрышының проекциясы, D нүктесі АВ кесіндісінде жатыр. А,В,С және D нүктелері сәйкеc M, N, K, P нүктелерінің прокциялары.
Егер АD =4, DB=6, MK= 6 болса, онда MN кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
АD =4,
DB=6,
MK= 6

PN=9,
MN=6+9=15
№3 (21 нұсқа №28)
АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель а жазықтығы оны АС және ВС түзулерінде жататын К және Р нүктелерінде қиып өтеді.Егер AC= 15, AB= 20, KP=4 болса, КС –ны табыңыз.

KC=3
№4 (26 нұсқа №28)
Ұзындығы 10 см тең кесінді жазықтықты қиып өтеді.Оның ұштары жазықтықтан 3 см және 2 см қашықтықта жатыр.Берілген кесінді мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз

АВ=10см
АР=2см
ВD=3см
<BOD-?
BC=BD+DC=2см+3см=5см
<BAC=<BOD=
=sin
Sin =
=300
<BOD=300
2006 ж
№5 (14 нұсқа №24)
Ұзындығы 2,4 см-ге тең ВК кесіндісі катеттері 6 см және 8 см болатын АВС тік бұрышты (<B=900) үшбұрышының жазықтығына перпендикуляр. К нүктесінен АС түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
AB=6, BC=8, BK=2,4
KN-?
AN=x
NC=10-x
BN2=AB2-AN2
BN2=BC2-NC2
36-x2=64-(10-х)2
20х=7,2
Х=3,6
BN2=36-3,62
BN=4*8
KN2=BK2+BN2
KN2=5,76+23,04=28,8
KN=2,4
№6
Бір нүктеден өтетін екі көлбеудің ұзындықтары 10 см және 17 см. Берілген нүкте жазықтықтан 8 см қашықтықта болса, көлбеулердің проекцияларын табыңыз.
AB=10, AC=17, AH=8
BH, HC-?
BH2=AB2-AH2
BH2=100-64=36
BH=6
HC2=AC2-AH2
HC2=289-64=225
HC=15
2009ж
№7(22 нұсқа №19)
АВ кесіндісі а жазықтығын қияды.С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы. А,В және С нүктелері арқылы жазықтығын М,К және Р нүктелерінде қиятын параллель түзулер жүргізілген.
Егер АM= , BP = дм болса, СK кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
BN= BP+PN
BN= + дм=4 дм
АВN үшбұрышының орта сызығы- CD
СD=BN:2=2
CK=CD-KD=2 - =
№8 (1 нұсқа №19)
А(3; -2;-4) нүктесінен ОУ осіне дейінгі және А нүктесінен XOZ жазықтығына дейінгі қашықтықтар қосындысын табыңыз.
A(3;-2;-4)
ОУ осіндегі А1(0;-2;0)
XOZ жазықтығындағы А2(3;0;-4)
АА1=
АА2=
АА1+ АА2=5+2=7
№9 (7 нұсқа №24)
АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал <D=1350, AE ABCD және ВС түзуінен 8 қашықтықта жатыр. В,С және Е нүктелері арқылы өтетін жазықтық пен ромб жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.

AB=8, EK=8
Sромб=a2sin1350
S=32
S=ah
h=S:a=4

cos
=602
№10 (19 нұсқа №19)
АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал <А=450 Ромб жазықтығына ВЕ перпендикуляры тұрғызылған.Е нүктесі АD түзуінен 4 қашықтықта. Е нүктесінен АВС жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.
AB=8, EK=4
<A=450
<ABK=450
AK2+KB2=AB2
2KB2=64
KB2=32
BE2=EK2- KB2
BE2=96-32=64
BE=8
ІІ бөлім. Пирамида
Пирамида деп бір жағы кез келген көпбұрыш, ал қалған п жағы төбелері ортақ үшбұрыштардан тұратын көпжақты атайды.
SA-бүйір қыры, SO-биіктігі, SM-бүйір жағының биіктігі( апофемасы)
V- көлемі
Sт.б-толық бетінің ауданы
Sтаб-табанының ауданы
Sб.б-бүйір бетінің ауданы
Кез келген пирамида үшін: V= Sтаб H
Sт.б= Sб.б+ Sтаб
Дұрыс пирамида үшін: Sб.б= PA

P-пирамида табанындағы көпбұрыштың периметрі
А-апофемасы
Қиық пирамида деп пирамиданың табаны мен табан жазықтығына параллель қима жазықтық арасындағы бөлігі аталады.
Р1, Р2-табандарының периметрі
S1, S2-табандарының аудандары
V= H(S1+S2+ )
S б.б= (P1+P2) A
2003 ж тест жинағы
№1 (1 нұсқа №12)
Егер берілген нүктеден барлық қабырғаларына дейін 3 см, ал үшбұрыш қабырғасы 2 см тең болса, берілген нүктеден дұрыс үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.
SH=3 см
AB= 2 см
SO=?
Шешуі: OH – дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.
r= ;
OH=
SO2=SH2-OH2
SO= =2
Жауабы:2 см
№2. (1 нұсқа №21)
Пирамиданың табанына параллель жазықтық пирамида биіктігін 3:2 қатынасқа бөледі. Жазықтық пирамиданың көлемін қандай бөлікке бөледі?
ИО=3x, ОН=2x
SКМР=S1; SABC= S2
S1=9y; S2= 25y
VИКМР= ИО* S1= *3x*9у=9 ху
Vқиық пир= ОИ (S1+S2+ )= *2x (9y+25y+ )= *98 xy
= =
№3 (2 нұсқа №10)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 2 см –ге тең, ал табанының қабырғасы 4 см. Бүйір қырының ұзындығын тап.
SH=2, AB= 4. SA= ?
АC=
AH=2
SA= =
Жауабы: см.

№4 (2 нұсқа №21)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 9 см-ге тең, ал бүйір қыры 12 см болса, көлемі неге тең?
SH=9 см , SA= 12 см , V=?
НС= =3
AC=6
AB2+BC2=252
S=AB2= 126
V= S H
V= *126 *9=378см3Жауабы:378см3

№5 (4 нұсқа № 21)
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 80 см, табан қабырғасы 120 см. Табанының центірінен өтетін бүйір жағына параллель қимасының ауданын табыңыз.


SH=80 cм,
AB=120 cм
SKFNM-?
AC=
AH=60
SA= =20
КМ=SA:2=20 :2=10
MN=BC=120
MO=(MN-KF):2=(120-60):2=30
KO= =50
SKFNM= 4500cм2
№6 ( 5 нұсқа № 10)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы 20 см, бүйір қырының екі жақты бұрышы 1200. Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

<AFC=1200
AC2=AB2+BC2
1) ABC
AC= =20
2) AFC

FC=(20 . ): =20
3) FBC
BF= =
SC2=SF2+FC2
SC=x,
SF= x-
X2=( x- )2+(20 )2
X2=X2-2X +( )2+
X=
X=10
SC=10
SK2=SC2-KC2=(10 )2-102=200
SK=10
Sб.б= PABCDSK= *80* 10 = 400
№7 (5 нұсқа № 21)
Үшбұрыш пирамиданың бүйір қырлары өзара перпендикуляр және 4 см, 5см, 6 см тең. Көлемі неге тең?

SB-биіктік,
AB=4 cм , BC= 5 cм, SB=6 cм
SABC= AB*BC= *4*5=10
V= SABC.SB= *10*6=20 cм3
№ 8 (7 нұсқа № 21)
Пирамиданың табаны – бүйір қабырғасы 10 см, табаны 12 см болатын тең бүйірлі үшбұрыш. Бүйір жақтары табан жазықтығымен 600-қа тең екі жақты бұрыш жасайды. Пирамиданың биіктігін табыңыз.
ABC-тең бүйірлі,AC=CB=10 cм, AB=12 cм.
<SKO=600, SO-?
S=r p
KO=r=S:p
p=(10+10+12):2=16
S= =48
=tg600
r=КО=48:16=3
SO=3 cм

№9 (8 нұсқа №30)
Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10 см болатын үшбұрышты дұрыс пирамидаға сырттай шар сызылған. Шардың радиусын табыңыз.
AH= r- ABC-ға сыртай сызылған шеңбердің радиусы
AO=R -пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы.
SH-пирамиданың биіктігі.
R=
AS= = =
AS=L
L2=2RH
R= =6,35
№10 (10 нұсқа №21)
Пирамиданың табаны –ромб, оның сүйір бұрышы 600,қабырғасы 14 см. Пирамида табанындағы екі жақты бұрыштары 450-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?
ABCD-ромб, <A=600 <SKO=450, V-?
Sромб=a2sin 600=142 * =98
AHD
DH = sin600
AD
DH=14 * =7
OK=DH:2=
SO=OK
SOK, <O=900.
<K=<S=450
V= Sромб SO= *98 * =343 cм 2
№11 (11 нұсқа №10)
Бүйір қыры 3см-ге, ал табанының қабырғасы 4 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың көлемін табыңыз.
SA=3 cм, AB=4 cм, V-?
AC= =4
HC=AC:2=4 :2=2
SH= =1
V= AB2 SH= *16*1=5 cм3

№12 (13 нұсқа №10)
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір қыры 5 см, ал биіктігі 4 см. Пирамиданың көлемі неге тең?
SA=5 cм, SH=4 cм.
V-?
HC= =3
AC=2HC=6
AB2+BC2=AC2
AB2=6:2=3
V= AB2SH= *3*4=4 cм3

№13 ( 14 нұсқа №12)
Берілген нүктеден шаршының барлық төбелеріне дейінгі қашықтық 4 см-ге тең. Ал шаршының қабырғасы 2 см-ге тең болса, берілген нүктеден шаршының жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.
SA=SB=SC=SD=4 cм,
AB=2, SH-?
AB2+BC2=AC2
AC= =2
HC=
SH= = cм.
№14 (17 нұсқа №21)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы 2 см-ге,
табанының қабырғасы 2 см-ге тең. Пирамиданың көлемі неге тең?
Sб.б=2 cм,
AB=2cм.
V-?
Sб.б= PABCD.SM,
SM- бүйір жағының апофемасы
SM=2SABCD:P=4 :8=
SH=
V= *4* =2 cм3
№15 (23 нұсқа №19)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қыры мен табанының арасындағы бұрыш , диогональдық қимасының ауданы S. Пирамиданың көлемі неге тең?
<SAH=
SASC=S, V-?
=ctg
SH=h
AH=hctg
AC=2hctg
AB2+BC2=AC2
2AB2=(2hctg )2
AB2=2h2ctg2
SASC= AC* SH= *2hctg *h=h2ctg
h=
AB=
SABCD=( )2=2Sctg V= 2Sctg =
№16 (29 нұсқа №21)
Пирамиданың табаны квадрат. Биіктігі табанының бір төбесі арқылы өтеді. Егер табанының қабырғасы 20 дм, биіктігі 21 дм болса, онда пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
ABCB-шаршы, АB=20 дм,SD=21 дм. Sб.б-?
SASD= AD SD= *20*21=210
SABS= AB AS= *20*29=290
Sб.б=2 (SASD+ SABS)=(210+290)*2=1000 дм2=10м2


№17 (34 нұсқа №8)
Жазықтықта тік бұрышты үшбұрыш берілген. Гипотенузасы 12 см. Кеңістікте берілген бір нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтық 10 см-ден. Үшбұрыш жазықтығынан кеңістіктегі нүктеге дейінгі қашықтықты табыңыз.
ABC-тік бұрышты үшбұрыш, АВ=12 cм,
SA=10cм
SH-?
AH=R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы
R= 6
SH=
№18 (34 нұсқа №19)
Пирамиданың табаны диогональдары 4 см және 2 см арасындағы бұрышы 300-қа тең параллелограмм. Пирамиданың биіктігі табанының кіші қабырғасына тең болса, онда көлемі неге тең?
ABCD-параллелограмм, AC=4cм, BD=2 cм, <BHC=300
SH=AB, V-?
S= AC* BD *sin300= *4*2 * =2 cм2
AB=
V= *2 *1= cм3
2004 жыл №19 (4 нұсқа №26)
ABCD тік төртбұрышының D төбесі арқылы тік төртбұрыш жазықтығына перпендикуляр DS түзуі жүргізілген. S нүктесінен тік төртбұрыштың төбелеріне дейінгі қашықтықтар
12 м, 14 м , 18 м. DS кесіндісінің ұзындығы неге тең?
SA=12 м, SB=14 м, SC=18м
SD=?
AB=x, BC=y, SD=z
X2+z2=144
Y2+z2=196
X2+y2+z2=324
144-z2+196-z2+z2=324
Z2=16
Z=4м
Жауабы: SD=4м
№20
Үшбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығы см-ге тең. Бүйір қыры табан жазықтығымен 600 бұрыш жасаса, онда пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусын табыңыз.
SA= см
<SAH=600
AO=R- пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы
=cos600
AH= .
SH= =
SA2=2R*SH
R= = см
2005 ж
№21 (4 нұсқа №30)
Дұрыс тетраэдрдің биіктігі h-қа тең. Толық бетінің ауданын табыңыз.
AB=x
SH=h
R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы
R=
AS2=SH2+AH2
X2=( )2+h2
X2- =h2
X2= h2 SABC=
Sт.б=4
№22 (5 нұсқа №21)
Көлемі 4 см3, ал табанының қабырғасы 2 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығын табыңыз.
V=4cм3
AB=2 см
SABCD=22=4см2
V= SABCD*SH
SH=3V: SABCD
SH=12:4=3
АС=2 , HC=
SC=
№23.(15 нұсқа №16)
Пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең шаршы. Іргелес екі бүйір жағы табынына перпендикуляр, ал басқа екі бүйір жағы табанымен 600 бұрыш жасайды. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.

ABCB-шаршы, AB=a
<SAD=<SCD=600
Sт.б=Sтаб+2(SASD+SSAB)
Sтаб=a2
SD= tg600
AD
SA= a
SASB= AS*AB= *a*2a=a2
SSAD= AD*SA= *a* a= a2
Sт.б=a2+2(a2+ a2)2=a2(3+ )
2006 ж
№24.(14 нұсқа №30)
Пирамиданың табанына параллель жазықтық қимасы биіктікті 1:1 қатынасындай бөледі. Қима ауданы 2 м2 болса, табан ауданы неге тең?
SH1=2SH S1=2 м2

=( )2

S1=8 м2
№25 (17 нұсқа №13)
MABCD дұрыс төртбұрышты пирамиданың МО биіктігі 7 см-ге тең, ал бүйір қыры 14 см- ге тең болса, онда скаляр көбейтіндісін табыңыз.

MO=7, MA=14.
AO2= MA2-MO2
AO=
M(0;0;7), O(0;0;0), C(-7 ;0;0)
MO(0;0;7)
MC(-7 ;0;7)
=0+0+49=49
2007 ж
№26 (6 нұсқа №24)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең, бүйір қырындағы екі жақты бұрыштары 1200-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?
Sтаб=
ABC:
CB2=CE2 +EB2-2CE *CB cos1200
CE=x
a2=3x2
x=
SAC:
AE2=AC2-CE2
AE= =a
AS=CS=y
ES2+EC2=SC2
ES=AS-ES
(y- a )2+ =y2
y2-2ax +2 + = y2
y=
AS=
SAH: AH=
SH2=AS2-AH2
SH=
V= Sтаб SH= * * =
2009 ж
№27 (1 нұсқа №18)
Пирамиданың табаны тік бұрышты үшбұрыш, 300 төбесіне қарсы жатқан катеті 30 см. Бүйір қырлары табан жазықтығына 600бұрыш жасаса, пирамиданың биіктігін табыңыз.
ABC-тік бұрышты үшбұрыш
<A=300, BC=30, <SAH=600
SH=?
AB=60
AC=
R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы
R=AH
R= =30
tg600
SH=30
№28 (2 нұсқа № 19)
SABC пирамидасының SB қыры биіктігі болады. BС=18 см, AB= 12 см ,
SB=5 см <CBA=900болса, пирамиданың төбесінен табанының медианаларының қиылысу нүктесіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
BС=18 см, AB= 12 см ,SB=5 см <CBA=900 SO-?
AC=
m- ABC-ның АС-ға жүргізілген медианасы
m=
BO- АВС-ның медианаларының қиылысу нүктесі
BO= =4
SO2=SB2+BO2
SO=
№29 (3 нұсқа №25)
Пирамиданың табаны-параллелограмм, оның қабырғасы 3 см және 7 см, ал диогональдарының бірі 6 см. Пирамиданың биіктігі диогональдарының қиылысу нүктесінен өтеді, ол 4 см-ге тең. Бүйір қырын табыңыз.
AB=3, BC=7, AC=6, SH=4
SA-?
AC2+BD2=2(AB2+BC2)
BD2=2(9+49)-36
BD2=80
BD=4
BH=BD:2=2
SB2=SH2+BH2
SB2=16+20=36
SB=6
SA2=9+16=25
SA=5
№30 (7 нұсқа №25)
М нүктесі тең түйірлі ABCD трапеция жазықтығынан тысқары жатыр және трапеция төбелерінен бірдей 7 см қашықтықта орналасқан. Егер AB= 12 см , DC= 8 см, AD=6см болса, М нүктесінен трапеция жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.
RABCD=RABD



AK=(AB-DC):2=(12-8):2=2
DK2=AD2-AK2
DK2=36-4=32
DK=4
DB2=DK2+KB2
KB=AB-AK=12-2=10
DB2=32+100=132
DB=2
PABD=(12+2 +6):2=9+
SABD=
RABD=
MO=
№31 (13 нұсқа №25)
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табанының диогоналі 4 см, бүйір жақтары табан жазықтығымен 600 жасайды. Пирамидаға іштей сызылған сфераның бетінің ауданын табыңыз.
AC=4
<SHO=600
rcфера-?
AB2+BC2=AC2
2 AB2=96
AB2=48
AB=4
OH=2
<OSH=300
rcфера=r tg300=2 * =2
S=4 rcфера2=4 *22=16
№32( 15 нұсқа №24)
Үшбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі мен бүйір жағының арасындағы бұрыш 300-қа тең. Пирамидаға іштей сызылған шардың радиусы 1 см-ге тең болса, табан қабырғасының ұзындығын табыңыз.
<OSK=300
rABC=
SK=2OK=2 =
SO=
rcфера=
a=6
AB=3
№33 (16 нұсқа №24)
Пирамиданың табанында катеттері 6 см және 8 см болып келетін тік бұрышты үшбұрыш жатады. Пирамиданың табанындағы барлық екі жақты бұрыштар 600-қа тең. Пирамиданың биіктігін табыңыз.
AC=6, BC=8, AC=10
OK=(6+8-10)/2=2
<OSK=300
SK=2OK=4
SO2=SK2-OK2
SO2=16-4=12
SO=2

№34 (25 нұсқа №25)
Үшбұрышты пирамиданың екі бүйір жағы өзара перпендикуляр және олардың аудандары P мен Q –ға тең, ал ортақ қырының ұзындығы а-ға тең. Пирамиданың көлемі неге тең?
SASB=P, SBSC=Q, SB=a V-?
AB=x, BC=y
SASB= AB SB
x=2P:a
SBSC= BC* SB
y=2Q:a
SABC= AB* BC=
V=
2010 ж
№35 (9 нұсқа №24)
МАВС пирамидасының барлық қырлары 6 см-ге тең, ВМ кесіндісінің ортасы К және А нүктелері арқылы және ВС қырына параллель өтетін қиманың периметрін табыңыз.
AK2=AB2-BK2
AK2=36-9=27
AK=3
KN=3
AN=3
P=3+3 +3 =3(2 +1)
№36(15 нұсқа №24)
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың диогональдық қимасы табанымен тең шамалы. Егер бүйір қыры 5 см-ге тең болса, пирамиданың табанының ауданын табыңыз.
SASC=Sтаб
AS=5 , Sтаб-?
SH=h
AB=x
AH2=AS2-SH2=25-h2
AC=
AC2=2AB2
AB2=2 (25-h2)
SASC= AC *SH Sтаб= AB2
h=2 (25-h2)
h=
h2=4(25-h2)
5h2=100
h2=20
h=2
AB2=2(25-20)=10
Sтаб=10
№37 (5 нұсқа №29)
Табанының қабырғалары 3 м және 2 м болатын, ал бүйір бетінің ауданы табандарының қосындысымен тең шамалы болатын дұрыс қиық пирамиданың көлемін табыңыз.
AB=AC=BC=3
MN=NK=MK=2
Sб.б= SABC+ SMNK
V-?
RABC=
Sтаб=
SABC=
SMNK=
Sб.б= (PABC+PMNK) m, m-бүйір жағының апофемасы
Sб.б=

m=
RABC-RMNK=
Hпир=
V=
№38 (16 нұсқа №29)
Табандарының ауданы 16 см2 және 4см2, ал биіктігі 3 см-гетең қиық пирамиданың көлемін табыңыз.
SABC=16 см2
SMNK=4см2
H=3 см
V-?
V= 3 (16+4+ )=28 см3
№39 (17 нұсқа №24)
Үшбұрышты қиық пирамиданың биіктігі 10 м-ге тең, ал табандарының қабырғалары 27 м, 29 м, 52 м-ге тең және екінші табанының периметрі 72 м-ге тең.Пирамиданың көлемін табыңыз.
H=10 м, AC=27, BC=29, AB=52
PMNK=72, V-?
PABC=24+29+52=108
SABC=

SMNK=120
V= *10 *(270+120+ )=1900м2
ІІІ бөлім Параллелепипед.
Параллелепипед –барлық жақтары параллелограммдар болатын призма.
Тік параллелепипед- бүйір қырлары табанына перпендикуляр параллелепипед.
а,в,с- қабырғалары, d-диогональ

Тік параллелепипедтің барлық жақтары –тік төртбұрыштар.
V=abc;
Sб.б =2c(a+b)
Sт.б=2(ab+bc+ac)
d2=a2+b2+c2
2003 ж
№1 (3 нұсқа №21)
Жақтарының аудандары 6 см2, 2см2 және 3см2 тең тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңыз.
S1=ab
ab=6 b=6:a
S2=ac
ac=2 c=2:a
S3=bc
bc= 3

a2=4
a=2
b=6:2=3
c=2:2=1
V=abc=6cм3
№2(8 нұсқа №19)
Биіктігі 4 см-ге тең диагоналі табан жазықтығымен 450 бұрыш жасайтын тік бұрышты табаны шаршы параллелепипед берілген. Параллелепипедтің көлемін табыңыз.

с=4см
d=4cм
а2+в2=d2
2a2=16
a2=8
Sтаб= a2
Sтаб=8
V=8*4=32cм2
№3 (9 нұсқа №19)
Тік бұрышты параллелепипедтің табан қабырғалары 7 дм және 24 дм, биіктігі 8 дм. Диогональдық қимасының ауданын табыңыз.
a=7 дм
b=24дм
c=8 дм
d2=a2+b2
d2=49+576=625
d=25
Sқима=25*8=200дм2= 2м2
№4.( 15 нұсқа №21)
Тік бұрышты параллелепипедтің бір төбеден шығатын үш жағының диогональдарының ұзындығы 2 см, 2 см және 10 см. Параллелепипедтің диогоналін табыңыз.

d1=2 см, d2=2 см, d3=10 см. d=?
а2+в2=(2 )2
a2+c2=(2 )2
в2+с2=102
в2=40-а2
с2=68-a2
40-а2+68-a2=100
2a2=8 a2=4
в2=40-4=36
с2=68-4=64
d2=4+36+64=104
d=
№5 (20 нұсқа №19)
Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері 15м, 50м,36м. Оған тең шамалас кубтың қырын табыңыз.
a=15м, b=50м, c= 36м
V=15*50*36=27000м2
Vk=a3
a3=27000
a=30м
№6(22 нұсқа №19)
Тік параллелепипедтің табанының қабырғалары 2 см және 4 см, ал арасындағы бұрыштың синусы -ке тең. Егер кіші диогоналінің ұзындығы 4 см-ге тең болса, параллепипедтің кіші диогоналі мен табанының арасындағы бұрышты табыңыз.
a=2cм, b=4cм
sinA=
d=4
<BDB1-?
cosA=
d2=a2+b2-2abcosA
d2=4+16-2*2*4* =20-12=8 , d=2
=cos<BDB1
cos<BDB1= ,
<BDB1=600
№7 (30 нұсқа №30)
Тік параллелепипедтің бүйір қыры 1м, табан қабырғасы 23 дм, 11дм, ал диогоналінің қатынасы 2:3. Диогональдік қимасының ауданын табыңыз.
c=1м=10дм, a=23дм, в=11дм
d1:d2=2:3
d1=
d22+d22=2(232+112)
d22=1300 =900
d2=30
d1= =20
S1=20дм* 10дм=200дм2=2м2
S2=30 дм* 10дм=300дм2=3м2

№8
Тік параллелепипедтің табаны ауданы 3 см2 тең ромб, ал диогональдық қималарының аудандары 3см2 және 2см2. Параллепипедтің көлемін табыңыз.
Sромб=3 см2
S1=3см2
S2=2см2 V-?
Sромб= d1d2
S1=d1h
S2=d2h
d1=3:h
d2=2:h
=3
h=1cм
V=3*1=3cм2
2005ж№9 ( 2 нұсқа №20)
Тік параллелепипедтің табанның бұрыштарының бірі 300 болатын параллелограмм. Табан ауданы 4дм2, ал бүйір жақтарының аудандары 6дм2 және 12дм2.
Параллепипедтің көлемін табыңыз.
Sтаб=4дм2
S1=6дм2
S2=12дм2.
<A=300
V-?
Sтаб=ab sin300
ab= 8
bc=6
ac=12
a=8:b
c=6:b

b2=4 , b=2, a=4, c=3
V= Sтаб h=4*3=12дм3
№10(18 нұсқа №28)
Тік параллепипедтің табаны-бір бұрышы а-ға тең ромб. Параллепипедтің Sб.б=S болса, параллепипедке іштей сызылған цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Sб.б=Ph, P=4a
4ah=S
h=S:(4a)
Sромб=a2sin a
Sромб=ah=2ra
a2sin a=2ra
r= a sin a Sб.б.цил=2 rh =2 a =

2007 ж
№11 (10 нұсқа №24)
Табан қабырғаларының 2 дм және дм, арасындығы бұрышы 300-қа тең көлбеу параллепипедтің кіші диогональдық қимасы ромб болады және ол табанына перпендикуляр. Бүйір қыры табан жазықтығымен 600 жасаса, Параллепипедтің көлемін табыңыз.
AB=2, BC= , <A=300
BDNP –ABCD-ға перпендикуляр
<MAC=600
V-?
BD2=22+ 2-2*2* *cos300=7-6=1
BD=1
SBDNP= BD2sin600=
SBDNP=ah
h= :1=
Sтаб=2* sin300= V= Sтабh= * =1,5
2009ж
№12 (8 нұсқа №18)
Тік бұрышты параллелепипедтің биіктігі 8 см, табан қабырғасы 5см және 6 см. Төменгі табанының кіші қабырғасы және оған қарама-қарсы жатқан жоғары табанының қабырғасы арқылы өтетін қиманың ауданын табыңыз.
a=6 , b=5, h=8
Sқима-?
d2=64+36=100
d=10,
S=10*5=50 cм
№13 (14 нұсқа №24)
Диогональнің ұзындығы L-ге тең және ол диогональ бір жағымен 300, екінші жағымен 450 бұрыш жасайтын тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңыз.

AC1=L
<B1AC1=300
<CAC1=450
V-?
AC12=AC2+CC12
AC=CC1=x,
2x2= L2
AC=
AB1C1
B1C1=L:2,
AC2=AB2+BC2
BC2=( )2-
BC=L:2
Sтаб=АВ2= = V= * =
2010 ж
№14 (5 нұсқа №24)
Тік параллелепипедтің табан қабырғасы 3 және 5 см-ға, табанының бір диоганалі 4 см. Кіші диогоналі табан жазықтығымен 600 бұрыш жасаса, параллепипедтің үлкен диогональін табыңыз.

а=3cм, b=5cм, D1=4cм,
<BDB1=600, AC1-?
D12+D22=2(32+52)
D22=68-16=48
D2=
=tg600
BB1=4
AC1= =10
№15 (7 нұсқа №25)
Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері а, в,с. Сырттай сызылған сфераның ауданын табыңыз.
Sсфера=4 R2
R=D:2
D2=a2+b2+c2
R2= ( a2+b2+c2)
Sсфера=4 ( a2+b2+c2)= ( a2+b2+c2)
№16 (13 нұсқа №9)
M( 2;0;0) H( 0;0;0) P( 0;4;0) H1(0;0;4) MHPKM1H1P1K1 тік бұрышты параллелепипедтің төбелері болса, М1нүктесінің координатасын табыңыз.
M1(2;0;4)

ІҮ бөлім Куб
Куб- барлық жақтары квадрат болатын тік параллелепипед.
a=b=c
V=a3
Sб.б=4a2
Sт.б=6a2
d= a
2003 ж № 1 (6 нұсқа №10)
Қыры 4 см –ге тең куб берілген. АВ қыры және СС1 қырының ортасы арқылы қима жазықтығы жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз.
CE=2 cм
ET=4 cм
BE2=BC2+CE2
BE2=16+4=20
BE=2
SABET=4*2 =8

№ 2 (6 нұсқа №28)
Кубқа сырттай цилиндр сызылған. Кубтың бетінің ауданы S-ке тең болса, онда цилиндрдің толық бетінің ауданын табыңыз.
Sкуб т.б=S
Sкуб т.б=6a2
a=
R=AC:2
AC2=( )2+( )2
AC=
R=
H=
Sцил т.б= 2 R (H+R)=2 ( + )=

№ 3 (27 нұсқа №21)
Кубтың диогоналі 12 см-ге тең. Көлемін табыңыз.
D2=3a2
a2=D2:3
a=
V=
№ 4 (30 нұсқа №19)
Кубтың толық бетінің ауданы 96см2 Кубтың көлемін табыңыз.
Sкуб т.б=6a2
6a2=96
a2=16
a=4
V=4*16=64cм3
2004ж
№5 (3 нұсқа №29)
Кубтың А және С1төбелері арқылы және ДД1 қырының ортасы арқылы қима жүргізілген. Қима ауданы 50 тең болса, кубтың қырын табыңыз.
SAMCN=50
AC=a
AC=a
SABCD= SAMCN cos <CAC
cos <CAC=
a2=50 =100
a=10
2004 ж
№6
Қыры 2 см –ге тең кубтың ВС және А1Д1 қырлары арқылы жазықтық жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз.
A1B= 4
Sқима=4*2 =8 cм2
2005 ж
№7 (20 нұсқа №29)
Кубтың қыры а-ға тең. Іштей сызылған шардың радиусын табыңыз.
r=a:2
№8 (34 нұсқа №26)
Кубтың қыры а-ға тең. Диогоналі табан жазықтығына қандай бұрышпен көлбеген?
AC=a
AC1=a
Sin<C1AC=
<C1AC=arcsin
2010 ж
№9 (8 нұсқа №24)
Кубтың АС1 түзуі мен табан жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.
AC=a
AC=a
cos <CAC=
<CAC=arccos
№10 (21 нұсқа №25)
Кубтың диогоналі –а. Осы кубқа сырттай сызылған цилиндрдің көлемін табыңыз.
AB=x
AC1=a
a2=3x2
x=
R=AC:2
AC2=AB2+BC2
AC=
R=
Sцил= R2= ( )2=
V= SцилH= =
№11 (23 нұсқа №25)
Қыры 2-ге тең куб берілген. М-ВСВ1 С1 жағының центрі.МД және ВВ1 қырларының арасындағы бұрыш неге тең?

M(0;1;1), В(0;0;0)
D(2;2;0), В1(0;0;2)
MD(2;1;-1) ВВ1(0;0;-2)
Cos a=
a=arccos

№12 (24 нұсқа №25)
Қыры 1-ге тең куб берілген. АД1мен АС1 векторларының скаляр көбейтіндісін табыңыз.

A(1;0;0) С1(0;1;1)
Д1(1;1;1)
АД1(0;1;1)
АС1(-1;1;1)
АД1*АС1=-1*0+1*1+1*1=2

№13 (25 нұсқа №25)
Қыры 2-ге тең куб берілген. АВ1 және ВС1 кесінділерінің орталарының арақашықтығы неге тең?А(2;0;0) В(0;0;0)
В1(0;0;2) С1(0;2;2)
М(1;0;1) N(0;1;1)
MN2=(0-1)2+(1-0)2+(1-1)2 MN=
Ү бөлім Призма.
Екі жағы параллель жазықтықтарда жататын өзара тең көпбұрыштар, ал қалған жақтары осы көпбұрыштармен ортақ қабырғаларыбар параллелограмдар болып келген көпжақты призма деп атайды.
Табандары-тең көпбұрыштар,
Бүйір жақтары-параллелограмдар,
Бүйір қырлары -өзара параллель.
V=SH
Sб.б=PL, L-бүйір қыры
Sт.б= Sб.б+2Sтаб
Тік призма деп бүйір қырлары табандарына перпендикуляр призмаларды атайды.
L=H, V=SH, Sб.б=PH
2003 ж
№1 (2 нұсқа №29)
Төртбұрышты дұрыс призма шарға іштей сызылған. Шардың радиусы 5 см, ал призманың табанының қабырғасы 6 см болса, онда призманың биіктігін табыңыз.

AB=6 cм, AO=5 cм, Hпризма-?
AC=6
Rшар=( +Rтаб2
Rтаб=AC:2=3

625=( +(3 )2
H2=28
H=2
№2 (11 нұсқа №21)
Тік призманың табаны-ромб, ал призманың диогоналдары 8см және 5 см. Призма биіктігі 2 см. Табан қабырғасын табыңыз.
AP=8, BN=5, CP=2
AB-?
AC2=AP2-CP2
AC2=64-4=60
AC=4
BD2=BN2-BD2
BD2=25-4=21
BD=
AB=
№3 (12 нұсқа №21)
Үшбұрышты тік призманың барлық қырлары өзара тең. Оның бүйір бетінің ауданы
48 см2. Биіктігін табыңыз.

Sб.б=48 см2.
Sб.б=PH
3a*a=48
a2= 16
a=4
H=4cм
№4 (13 нұсқа №21)
Тік үшбұрышты призманың табанының қабырғалары 10см, 17см, 21 см, ал призма биіктігі 18 см. Призманың бүйір қыры мен табаының кіші биіктігінен өтетін қиманың ауданын табыңыз.
p=
S=
S= AB*CH
CH=2S:AB
CH= 168:21=8cм
№5 (18 нұқса №21)
Үшбұрышты дұрыс призманың табанының ауданы 12 тең. Егер призманың биіктігі табанының қабырғасынан 2 есе үлкен болса, онда призманың көлемін табыңыз

Sтаб=12
MA=2AB
Sтаб=
=12
a2=48 a=4
MA=2*4 =8
V=12 *8 =288 cм3
2004 ж
№6
Дұрыс төртбұрышты призманың бүйір бетінің ауданы 32м2, ал толық бетінің ауданы 40м2. Биіктігін табыңыз.
Sб.б=32м2, Sт.б=40м2
Sт.б= Sб.б+2 Sтаб
Sтаб= =4
Sтаб=a2
a2=4, a=2
Sб.б=PH
P=4*2=8cм
H= Sб.б:P
H=32:8=4cм
2006 ж
№7 (21 нұсқа №24)
Тік призманың табанында төбесіндегі бұрышы болып келетін тең бүйірлі үшбұрыш жатады. Осы бұрышқа қарсы жатқан жағының диогоналі L ге тең және табан жазықтығымен бұрышын жасайды. Призманың көлемін табыңыз
<ABC= , EC=L, <ECA=
Үшбұрыш AEC:
, AE=L sin , AC=Lcos
Үшбұрыш ABC:
AH= AC= Lcos
=ctg
BH= Lcos ctg
SABC= AC* BH= Lcos * Lcos ctg
S= L2 cos2 ctg
V= L2 cos2 ctg * L sin = L3 sin2 cos ctg
№8 (27 нұсқа №13)
Көлбеу үшбұрышты призманың бүйір қырларының ара қашықтығы 10см, 17 см, 21см, ал бүйір қыры 18 см. Призманың көлемін табыңыз

AB=10, BC=17, AC=21,
L-бүйір қыры, L=18

p=
S=
V=SABC*L, L-бүйір қыры
V=84*18=1512cм3
2007 ж №9 (5 нұсқа №24)
Дұрыс төртбұрышты призманың диогоналі мен бүйір жағының арасындағы бұрыш 300, ал табанының қабырғасы а-ға тең. Призманың көлемін табыңыз.
<TAM=300, AB=a V-?
TM=a, MA=2a
MA2=a2+a2+h2
h2=4a2-2a2=2a2
h= a
SABC=a2
V= SABC*h=a2* a= a3


№10 (11 нұсқа №14)
Төртбұрышты дұрыс призманың диогоналі бүйір жағымен 300 бұрыш жасап көлбейді. Диогоналінің табан жазықтығымен жасайтын бұрышын табыңыз.
<TAM=300, AB=a V-?
TM=a, AM=2a
AC= a

cos = =450
№11 (15 нұсқа №24)
Үшбұрышты дұрыс призманың табан қабырғасы мен оған қарсы жатқан қырының ортасы арқылы өтетін жазықтық табан жазықтығымен 450 бұрыш жасайды.Табан қабырғасы а-ға тең болса, призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
AB=a, <KOC=450
Sб.б-?
OC2=BC2-OB2
OC=
=tg450
KC=
H=2* =a
P=3a
Sб.б=PH=3a* a =3 a3
2009ж №12 (2 нұсқа №18)
Тік призманың табанында жатқан үшбұрыштың бір қабырғасы 2м, ал қалғандары 3м-ге тең. Призманың бүйір қыры 4м. Осы призмамен көлемдері бірдей кубтың қырын табыңыз.
AB=2м, AC=BC=3м, AM=4м,
Vпризма=Vкуб
P=
S=
Vпризма=SH=2 *4=8
Vкуб=a3 a3=8 a=2
2010 ж
№13 (11 нұсқа №9)
А(2;0;0), В(0;0;0), С(0;2;0) В1(0;0;2) АВСА1В1С1 призманың төбелері болса, С1 нүктесінің координатасын табыңыз.C1(0;2;2)

№14 (11 нұсқа №25)
Дұрыс төртбұрышты призманың табанының диогоналі 4 см, бүйір жағының диогоналі
5 см. Осы призмаға іштей сызылған цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.
AC=4 см
AT=5 см
Sб.б-цилиндр-?
Sб.б=2 RH
AC2=AB2+BC2
2AB2=32
AB2=16
AB=4
AP2=AT2-PT2=25-16=9
AP=3 см
R=AC:2=4 :2=2
Sб.б=2 RH=2 *2 *3=12 см2
ҮІ бөлім Шар
Жарты дөңгелек өзін шектейтін диаметрден айналғанда шығатын фигураны шар деп атайды.
V= R3
S=4 R2

2003ж
№1 ( 1 нұсқа №27)
Шардың радиусы 8 см-ге, ал қиманың радиусы см-ге тең. Шардың центрінен қима жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.
R=OB=8 см
AB= см
AO-?
AO2=OB2-AB2
AO2=64-15=49
AO=7см
№2(15 нұсқа №11)
Радиусы 41 см шар центрінен 9 см қашықтықты жазықтықпен қиылған. Қиманың ауданын табыңыз.
R=OB=41 см
AO=9 см
AB2=OB2-AO2
AB2=1681-81=1600
S= R2
S=1600


№3 (17 нұсқа №27)
Шар бетінің ауданы 36 . Шардың көлемін табыңыз.
S=4 R2
36 =4 R2
R=3
V= R3= *33=36
№4 (29 нұсқа №11)
Үш шардың радиустары 3см, 4см, 5 см. Көлемі осы шарлардың көлемдерінің арифметикалық ортасына тең болатын шардың радиусы неге тең?
R1=3см, V1= R13= *33=36
R2=4см, V2= R23= *43=
R3=5 см, V3= R33= *53=
V= (V1+V2+V3)= (36 + + )= *288 =96
V= R3
R3=
R=
2004ж
№5( 15 нұсқа №30)
Радиусы 17 см болып келетін шар оның центрінен 15см қашықтықта жазықтықпен қиылысады. Қима ауданын табыңыз.
R=OB=17 см
AO=15 см
AB2=OB2-AO2
AB2=289-225=64
S= R2
S=64


№6(20 нұсқа №30)
Шар секторының табанындағы шеңбердің радиусы см-ге, ал шардың радиусы 3 см-ге тең. Шар секторының көлемін табыңыз.
R=OA= 3см
AB= см
BO2=OA2-AB2
BO2=9-5=4
BO=d=2cм
H=R-d=3-2=1cм
V= R2H= *9*1=6
№7 (22 нұсқа №30)
Шар бетінің ауданы 100 . Шардың көлемін табыңыз.
S=4 R2
100 =4 R2 R=5
V= R3= *53=
№8 (32 нұсқа №30)
Шар бетіне тиісті C, D және Е нүктелері берілген және CD=7 cм, DE=8cм, CE=9 cм. Шардың центрінен CDE үшбұрыш жазықтығының центріне дейінгі қашықтық 1 см-ге тең болса, шар бетінің ауданын табыңыз.

AO=1cм,
P= (7+8+9)=12
S=
RCDE=
OE2=AO2+AE2
OE=
S=4 R2S=4 * =92,2
2005 ж
№9 (9нұсқа №28)
Бір шар бетінің ауданы 18см2-қа тең. Көлемі берілген шар көлемінен 8 есе үлкен екінші шар бетінің ауданын табыңыз.
S1=18 см2
4 R2=18
R2=
R=
V1= R3= *( )3=
V=V1*8= *8=
= R3
R=
S=4 R2
S=4 * =72cм2
№10(28 нұсқа№30)
V= cм3тең болатын шар конусқа іштей сызылған.Конустың биіктігі 3 см болса, көлемін табыңыз.
V= R3
R3=
Rшар=1
SO=H
L-жасаушысы
L2=H2+R2
L=
Rшар=
=1
3R=R+
=2R
4R2=9+R2
R2=3
Sконус= R2
Sконус=3
V= SконусH= *3 *3=3
№11 (29 нұсқа №30)
Шарлардың радиустары 25 дм, 29 дм, ал олардың центрлерінің ара қашықтығы
36 дм.Шарлардың беттерінің қиылысу сызығының ұзындығын табыңыз.
AB=25 дм, BC=29 дм, AC=36 дм
AD=x , DC=36-x
BD2=AB2-AD2
BD2=BC2-DC2
252-x2=292-(36-x)2
625- x2=841-1296+72x- x2
72x=1080
x=15
BD2=AB2-AD2
BD2=625-225=400
BD=20
C=2 R=2 *20=40 дм=4 м
2006 ж №12(26 нұсқа №14)
Шардың көлемінің және оның беттерінің аудандарының сан мәндері тең. Шардың радиусын табыңыз.
Vшар= Sб.б
R3=4 R2
R=3 cм
2007ж
№13( 2 нұсқа №30)
Сыртқы диаметрі 10,7 см, ал ішкі диаметрі 8,6 см-ге тең іші қуыс шойын шардың массасын есептеп шығарыңдар. Шойын тығыздығы 7,3г/см3
AB=10,7 см
CD=8,6 см
=7,3 г/см3
m= V
R1=AB/2=10,7:2=5,35
V1= R13= *5,353=204,17
R2=CD/2=8,6:2=4,3
V2= R23= *4,33=106,009
V=V1-V2=204,17 -106,009 =98,161
m= V
m=7,3*98,161 =716,6
№14(6 нұсқа №14)
Шардың көлемі 288 см3. Шар бетінің ауданын табу керек.
V=288 см3
R3=288
R=6
S=4 R2=4 *62=144


2009ж
№15(9 нұсқа №18)
Шарды қиятын екі параллель жазықтық шар центрінің екі жағында орналасқан. Қималардың аудандары 144 және 25 . Жазықтықтардың арасы 17 см болса, шар бетінің ауданын табу керек.

AB=17см
S1=144
S2=25
Sшар-?
R12=144
BC=R1=12
R22=25
AD=R2=5
AO=x, BO=17-x
CO2=BO2+BC2
DO2=AO2+AD2
DO=CO=R
(17-x)2+144=x2+25
289-34x+x2+144= x2+25
34x=408
X=12
AO=12, DO2=144+25=169
DO=13
S=4 *R2=676
№16 (18 нұсқа №24)
Шардың өзара перпендикуляр екі қимасының ортақ хордасының ұзындығы 12 см. Қималардың аудандары 100 және 64 болса, шардың радиусын табыңыз.
S1=100 R1=10
S2=64 R2=8
AB=12 см.
AKD; KD2=AD2-AK2
KD2=100-36=64
KD=8
BKC
KC2=BC2-KB2
KC2=64-36=28
KC=2
DKO;
KO2=KD2+DO2
KO2=64+28=92
AKO
AO2=AK2+KO2
AO2=36+92=128
R=
2010ж
№17 (15 нұсқа №25)
Сфера центрінің бір жағында орналасқан, сфераны қиятын параллель жазықтықтардың қималарының ұзындығы 10 және 24 . Жазықтықтардың арасы 7 см болса, сфера бетінің ауданын табыңыз.
AB=7, C1=10 , C2=24 .
Sсфера-?
2 R1=10
AC=R1=5
2 R2=24 .
BD=R2=12
AOC;
BO=x
AO=x+7
OC2=AO2+AC2=(x+7)2+25
BOD
OD2=BO2+BD2=x2+144
OC=OD=R
(x+7)2+25= x2+144
X2+14x+49+25=x2+144
14x=70
X=5
R2= x2+144=25+144=169
R=13
S=4 *R2=4 *169=676
ҮІІ бөлім Цилиндр
Цилиндр деп тік төртбұрышты оның қабырғаларының бірінен айналдырғанда шығатын фигураны айтады.
V= R2H
Sб.б=2 RH
Sт.б= Sб.б+2Sтаб


2003ж
№1 (7 нұсқа №21)
Биіктігі 3см-ге тең, ал осьтік қимасы шаршы болатын цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.
AC=H=3см
R=AB:2=3:2=1,5 см
S=2 RH
S=2 *1,5*3=9

№2 (13 нұсқа №11)
Цилиндр биіктігі 2 м, табан радиусы 3 см. Көлемін табыңыз.
H=2 м=200 см.
R=3 см.
V= R2H
V= *32*200=1800 см3
№3 (14 нұсқа №11)
Цилиндрдің биіктігі 6 дм, ал табанының радиусы 5дм. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.
H=6 дм, R=5дм.
S=2 RH
S=2 *5*6=60 дм2
№4 (16 нұсқа №11)
Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 24 см2. Бүйір бетінің ауданын табыңыз.
SABCD=24 см2,
Sб.б=2 RH
AB=2R
AC=H
SABCD=AB*AC
Sб.б=24 см2
№5 (16 нұсқа №27)
Осьтік қимасының ауданы 30см2, ал табанының ауданы 9 см2цилиндр берілген.
Көлемін табыңыз.
SABCD=30 см2,
Sтаб=9 см2
Sтаб= R2
R2=9
R=3
AB=2R
AC=H
SABCD=AB*AC
2R*H=30
H=30:6=5cм
V= R2H
V= *9*5=45
№6(19 нұсқа №26)
Цилиндрдің бүйір бетінің жазбасы тік төртбұрыш. Жазбаның диогоналі d табанымен бұрыш жасайды. Цилиндрдің көлемін табыңыз.
AC=d
<CAD=
V-?
CD=d sin
AD=d cos
Cтаб= 2 R
2 R= d cos
R=
V= R2H
V= ( )2* d sin = cos2 *sin
2004ж
№7.(3 нұсқа №30)
Цилиндрдің көлемі 112 см3, биіктігі 28 см. Осьтік қимасының диогоналінің ұзындығын табыңыз.

V=112 см3
V= R2H
H=28 см.
AD-?
R2*28=112
R2=4
R=2
AB=4
AD2=AB2+BD2
AD2=16+784=800
AD=
2006ж
№8 (19 нұсқа №14)
Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 70см2, ал биіктігі 7 см-ге тең. Цилиндрдің бетінің ауданын табыңыз.
AB=2R
AC=H=7 см
SABCD=AB*AC=70см2
2R*7=70
R=70:14=5cm
Sб.б=2 RH=2 *5*7=70
Sтаб= R2= *52=25
Sт.б=2 Sтаб+ Sб.б=50 +70 =120
2007ж
№9(25 нұсқа №30)
Цилиндрдің осьтік қимасының диогональдары өзара перпендикуляр. Қиманың периметрі 8а. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.
PABCD=8a
AB=2a, AC=2a
R=a,
Sб.б=2 RH=2 *a*2a=4 a2
V= R2H
V= a2*2a=2a3
2009ж
№10 (17 рұсқа№24)
Радиусы R, биіктігі Н-қа тең цилиндрге табаны цилиндр табанының біріне іштей сызылған, ал төбесі оның келесі табанына тиісті болатын дұрыс төртбұрышты пирамида іштей сызылған. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.
SO=H, OD=R.
Sт.б-?
AD=2R
AB=x
AD2=AB2+BC2
x2+x2=4R2
x2=2R2
Sтаб=AB2
Sтаб=2R2
Sб.б= P*A (А-пирамиданың апофемасы)
AB= R
P=4 R
A2=H2+(AB/2)2
A=
Sб.б= *4 R* =2R
Sт.б=2R +2R2=2R( +R)
ҮІІІ бөлім. Конус
Конус деп тік бұрышты үшбұрышты катетінен айналдырғанда шығатын фигураны атайды.
V= R2H
Sб.б= RL
L2=H2+R2
Sт.б= Sб.б+Sтаб


2003ж
№1 (3 нұсқа №11)
Конустың жасаушысы 2 см-ге тең, осьтік қимасының төбесіндегі бұрышы 1200.
Конустың табанының ауданын табыңыз.
AC=2 см
<ACB=1200
Sтаб-?
АВ2=AC2+BC2-2AC*BC*cos1200
АВ2= (2 )2+(2 )2+2*2 * =2*4*3+4*3=36
AB=6
R=3
Sтаб= R2 Sтаб=9
№2 (3 нұсқа №29)
Конустың биіктігі 4см. Табанының диаметрі 6см. Бүйір бетінің ауданын табыңыз.
CH=4см
AB=6см
R=3cм
Sб.б= RL
L2=H2+R2
L2=16+9=25
L=5
Sб.б= *3*5=15
№3 (8 нұсқа №26)
Конустың биіктігі табанының радиусына тең. Көлемі V=9 .Жасаушысын табыңыз.
CH=R=x
V=9 .
L-?
V= R2H
R2H=9
X3=27
X=3
L2=H2+R2
L2=9+9=18
L=3
№4 (9 нұсқа №26)
Конустың табанының радиусы 3 см, ал жасаушысы табан жазықтығына 450 бұрыш жасай көлбеген. Конустың көлемін және бүйір бетінің ауданын табыңыз.
R=AH=3 см
<CAH=450
V, Sб.б-?
СH=3 см
L2=H2+R2
L2=(3 )2+(3 )2
L2=36
L=6
V= R2H
V= (3 )3=18
Sб.б= RL
Sб.б= *3 *6=18
№5 (13 нұсқа №27)
Конустың көлемі 9 см3 Егер оның осьтік қимасы тең қабырғалы үшбұрыш болса, конустың биіктігін табыңыз.
V= R2H
V=9 см3
9 см3 = R2H
R=x, CB=2x
CH2=4x2-x2=3x2
CH= x
*x2* x=9
X3=27
X=3
CH= x=3
№6 (25 нұсқа №11)
Осьтік қимасы тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш болатын конус берілген. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 6 см-ге тең болса, бүйір бетінің ауданын табыңыз.
AB=6
R=3
H=3
L2=H2+R2
L2=(3 )2+(3 )2
L2=36
L=6
Sб.б= RL
Sб.б= *3 *6=18
2004 ж
№7( 5 нұсқа №30)
Конустың жасаушысы табан жазықтығына 300бұрыш жасай көлбеген және 8 см-ге тең. Осьтік қимасының ауданын табыңыз.
<CAH=300
AC=8 см
SABC-?
SABC= AB*CH
CH= AC
CH= *8=4
AH2=AC2-CH2
AH2=64-16=48
AH=4
AB=8
SABC= AB*CH= *8 *4=16
№8 (13 нұсқа №30)
Тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш өзінің катетінен айналдырылған. Гипотенузасы 3 см-ге тең болса, шыққан конустың көлемін табыңыз.
AC=3 см
AC2=AH2+CH2
2AH2=18
AH2=9
AH=3
V= R2H
V= *32*3=9
№9(19 нұсқа №30)
Конустың биіктігі 15cм, ал көлемі 320 см3. Табанының радиусын табыңыз.
V= R2H
V=320 см3
H=15см
R2 *15=320
R2=64
R=8
2009ж
№10( 1 нұсқа №25)
Жасаушысы L-ге, ал табанының радиусы R-ге тең конус берілген. Бір жағы конус табанында, ал қарсы жатқан жағының төбелері оның бүйір бетінде жататын конусқа іштей сызылған кубтың қырын табыңыз.

PB=L
BK=R, R-төртбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы
a-? a-төртбұрыштың қабырғасы
a= R

H=

1-
a (
a=
a=
№11( 3 нұсқа №18)
Конустың осьтік қимасы тең бүйірлі үшбұрыш, бүйір қабырғасы 16 см, ал арасындығы бұрышы 1200 болса, толық бетінің ауданын табыңыз.
AC=16 см,
<C=1200
Sт.б-?
Sт.б= R(R+L)
АВ2=AC2+BC2-2AC*BC*cos1200
AB2=162+162+2*16*16* =768
AB=16
R=AB:2
R=8
Sт.б= R(R+L)= *8 (8 +16)=64 (3+2 )
№12(4 нұсқа №18)
Тік конустың жасаушысы 6 см-ге тең және табан жазықтығына 600бұрыш жасай көлбеген. Толық бетінің ауданын табыңыз.
AC=6 см, <A=600
Sт.б-?
Sт.б= R(R+L)

AH=6* =3 см
Sт.б= *3*(3+6)=27
2010ж №13 (8 нұсқа №25)
Конустың биіктігі 20-ға, табанының радиусы 25-ке тең. Конустың төбесі арқылы өтетін және конустың табанының центрінен қашықтығы 12 см-ге тең боатын қиманың ауданын табыңыз.
SO=20 см, KO=25 см, PO=12 см
SSKL= SP*KL
SEO; SE=
SPO; SO2=SE*SP
SP= SO2:SE
SP=400:16=25
KPO; KP=
SSKL= SP*KL= *25*20=500
№14 (11 нұсқа №25)
Пирамиданың табаны-қабырғасы а-ға , сүйір бұрышы -ға тең ромб. Пирамидаға жасаушысы табан жазықтығымен бұрыш жасайтын конус іштей сызылған. Конустың көлемін табыңыз.

<A=
<SAO=
V= Sтаб *SO
=sin
h=a sin
r= h= a sin
SO= sin tg
Sтаб= r2= ( a sin )2
V= *( )2a2sin2 * sin tg = sin3 tg
№15 (16 нұсқа №25)
Конустың биіктігі 3 см, табанының радиусы 5 см.
Төбесі арқылы өтетін биіктігімен 300жасайтын қиманың ауданын табыңыз.
SO=3 см
R=5 см.
<PSO=300
SSKL= KL*SP
SP=2PO
SP=2x, PO=x
SO2=SP2-PO2
3x2=27
X2=9
X=3
SP=6, PO=3 KP= =4 KL=2KP=8
SSKL= KL*SP= *8*6=24 см2
№16 (19 нұсқа №25)
Конустың биіктігі 4 см. Конус бүйір бетінің жазбасының центрлік бұрышы 1200.Конустың көлемін табыңыз.


CH=4
=

L=3R
H=
H=2R
2R =4 R=2
V= R2H
V= *22*4 =
№17 (21 нұсқа №24)
Конустың бүйір бетінің ауданы табанының ауданынан 2 есе артық болса, жазбасының бұрышын радианмен табыңыз.
Sб.б= RL
Sб.б=2Sтаб
RL=2 R2
L=2R
=
=1800

№ 18 (16 нұсқа №25)
Конустың көлемі V –ға тең. Конусқа іштей сызылған дұрыс төртбұрышты пирамиданың көлемін табыңыз.
V= R2H
H=
Vпир= Sтаб*H
R-төртбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы
a-төртбұрыштың қабырғасы
a= R
Sтаб=a2=( R)2=2R2
Vпир = Sтаб*H= *2R2*H= *2R2* =

№19 (17 нұсқа №25)
Радиусы 6 см-ге тең жарты дөңгелек конусқа айналдырылған. Кoнустың көлемі неге тең?
С= R=6
H=
H=
C=2 R
2 R=6
R=3
V= R2H= *9*3 =9
№20 (20 нұсқа №18)
Конустың осьтік қимасы тік бұрышты үшбұрыш.P=16(2+ ) , толық бетінің ауданы неге тең?
AC=BC=L, AB=2R
AC2+BC2=AB2
2L2=4R2
L= R
P=2R+2L
2R+2L=16(2+ )
R+L=8(2+ )
R+ R=8(2+ )
R(1+ )=8 (1+ )
R=8
L= *8 =16
Sт.б= R(R+L)= *8 *(8 +16)= *8 *8 (1+ )=128 (1+ )
№21 (2003ж. 2 нұсқа №27)
Қиық конустың табан радиусы 7 м және 4 м. Жасаушысы табанына 600бұрышпен көлбеген.Жасаушысын табыңыз.
OC=4 м.
ND=7 м
<D=600
DC-?
DH=DN-HN=7-4=3м
=cos600
DC=3: =6м
№22 (18 нұсқа №11)
Қиық конустың табанының диаметрі 3м, 6м, биіктігі 4 м. Жасаушысын табыңыз.
AD=6, BC=3, CH=4, DC-?
HD= (AD-BC)= *(6-3)=1,5
DC2=CH2+HD2
DC2=16+2,25=18,25
DC=

№23 (23 нұсқа №26)
Қиық конустың табанының радиустары 10 см және 4 см, ал жасаушысы табан жазықтығына 450 бұрыш жасай көлбеген. Конустың осьтік қимасының ауданын табыңыз.
ND=10, OC=4, <D=450
SABCD-?
HD=ND-OC=10-4=6
HD=CH=6
S= (AD+BC) *CH= (20+8)*6=84


№24 (2009ж 10 нұсқа №25)
Конустың көлемі 375 см3. Биіктігі 5 см.Конус төбесінен 2 см қашықтықтан өтетін және де оның табанына параллель жазықтық қияды. Пайда болған қиық конустың көлемін табыңыз.
V=375 см3
H=5 см.
SC=2cм
Vқиық кон-?
V= R2H
R2*5=375

R2=225:
R=
CN=x
x=
V= H(r2+R2+R*r)= *3*( )=351 см2

Мазмұны:
І бөлім Жазықтықтардың қасиеттері
ІІ бөлім. Пирамида
ІІІ бөлім Параллелепипед
ІҮ бөлім Куб
Ү бөлім Призма
ҮІ бөлім Шар
ҮІІ бөлім Цилиндр
ҮІІІ бөлім Конус .