. Тәжірибе стансасының негізгі мектебі

Формулалар жинағы



I. ТІКБҰРЫШТЫ ҮШБҰРЫШ

a, b – катетер, c – гипотенуза. , h – биіктік,

C


b a

h


A B

D

- жарты периметр.

1. b2 = c • cb
a2 = c • ca Катет - гипотенузасы мен катетің гипотенузадағы проекциясының геометриялық орташасы
2. h2 = ca • cb Тік бұрыштың төбесінен гипотенузаға түсірілген биіктік – гипотенузадағы биіктік табаны бөліп тұрған кесінділердің геометриялық орташасы
3. a2 + b2 = c2 Катетер квадраттарының қосындымы гипотенузаның квадратына тең
4. егер болса, онда
30˚ - қа қарсы катет гипотенузаның жартысына тең
5.
Сырттай сызылған шеңбердің радиусы Формуласымен анықталады
6.

Іштей сызылған шеңбердің радиусы және формуласымен анықталады
7.

Ауданы және формулаларымен анықталады

II. Қиғашбұрышты үшбұрыш

; - сүйір бұрыштар, СD – биіктік, АВ – табаны.
a2 = c2 + b2 – 2ccb
b2 = c2 + a2 - 2cca
Cүйір бұрышқа қарсы жатқан қабырғаның квадраты, былайғы екі қабырғасы квадраттарының қосындысының табаны мен бүйір қабырғасының табанындағы проекциясының екі еселенген көбейтіндісін азайтқанға тең.

С

b a
h

А cb ca В

D

- доғал бұрыш b2 = a2 + c2 +2a1c Доғал бұрышқа қарсы жатқан квадраты, былайғы екі қабырғасы квадраттарының қосындысына табаны мен екінші бүйір қабырғасының табанындағы проекциясының екі еселенген көбейтіндісін қосқанға тең

C

b a
h

D
А c B a1


Ауданды анықтайтын формулалар

, , .

,
Sa - ауданы Сыртай сызылған шеңбердің центрі қабырғаларынығ орта перпендикулярларының қиылысу нүктесінде жатады да, радиусы
формуласымен анықталады

S – ауданы
p – жарты периметр Іштей сызылған шеңбердің центрі биссектрисалардың қиылысу нүктесінде жатады да, радиусы формуласымен анықталады

Бисектрисаны есептеу формулалары
С

b lc a

А В
b1 D a1 Үшбұрыштың ішкі бұрышының биссектрисасы табанын іргелес қабырғаларына пропорционал бөліктерге бөлінеді: lc –биссектриса

a) б)





C

a
o N

A B
M AN, CM – медианалар. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады жіне төбесінен бастап есептегенде сол нүктеде 2 : 3 қатынасында бөлінеді.
Медиана формуласымен есептеледі

ha, hb, hc – cәйкес қабырғаларына түсірілген биіктік
формулаларын пайдаланып тапсақ:
:
r – іштей сызылған шеңбер радиусы

III. ТӨРТБҰРЫШТАР


B

A O C

D Ромб

Ромбының диогналдары өзара перпендикуляр және бұрыштарын қақ бөледі

Ромбының ауданын есептейтін формулалар

A B

o
b h

D C ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
AC2 + BD2 = 2a2 + 2b2
Диогналдарының киадраттарының қосындысы, оның барлық қабырғаларының киадраттарының қосындысына тең

Ауданы S = ah формуласымен анықталады

B b C

M h K

A D
a
Трапеция
; Трапециярың орта сызығы табандарының қосындысының жартысына тең
Ауданы формуласымен анықталады

b
B C
c d
• O

A B
a Трапеция
a +b = c+d. Егер трапецияға іштей шеңбер сызылған болса, онда табандарының қосындысы бүйір қабырғаларының қосындысына тең болады


M
B C

o

A D
N Трапеция
Диогналдары өзара перпендикуляр болатын тең бүйірлі трапециярың ауданы – биіктігінің квадратына тең
S = h2

B b C

c •o c

A D Трапеция
Теңбүйірлі трапецияға іштей шеңбер сызылатын болса, онда биіктігі табандарының геометриялық орташасы болады:


IV ШЕҢБЕР ЖӘНЕ ДӨҢГЕЛЕК

B

1 A
2
C
AB=AC Егер щеңберден тысқары жатқан нүктеден оған екі жанама жүргізсе, онда:
a) берілген нүктеден жанасу нүктесіне дейінгі кесінділердің ұзындықтары тең;
б) центрден өтетін қиюшымен жанамалар арасындағы бұрыштар өзара тең.



B n1 A
n
D
m1 = AD• n Егер шеңберден тысқары жатқан бір нүктеден оған жанама және қиюшы жүргізілсе, онда жанаманың квадраты қиюшы мен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісіне тең

b

c d b

a
ab = cd Егер екі хорда қиылысса, онда бір хордадағы кесінділер мен екінші хордадағы кесінділердің көбейтінділері тең болады

Шеңбердің ұзындығы

Дөңгелектің ауданы

В

А
Доғаның ұзындығы

о
r • r


Сектордың ауданы

•о
a
a =͜ AB

A B


C D

A • B



A E

B M
C



B D
A
•O
E
C



1 – ден 10 – ға дейінгі натурал сандардың квадраттары және кубтары

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
N3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

2 және 3 сандарының дәрежелері

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3n 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

10 – нан 99 – ға дейінгі натурал сандардың квадраттарының кестесі
Ондық-
тар бірліктер
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

ҚЫСҚАША КӨБЕЙТУ ФОРМУЛАЛАРЫ












НАТУРАЛ ЖӘНЕ БҮТІН КӨРСЕТКІШТІ ДӘРЕЖЕНІҢ ҚАСИЕТТЕРІ



















Бөлшек өрнектерге амалдар қолдану












Тригонометриялық функциялардың мәндерінің кестесі

бұрыш
Радианмен ( градуспен ) берілген бұрыштың мәнә
функция 0

( 0˚)
(30˚)
(45˚)
(60˚)
( 90˚)
(120˚)
(135˚)
(150˚)

(180˚)
(270˚)

(360˚)
Sin a 0


1


0 -1 0
Cos a 1


0 -

-
-1 0 1
Tg a 0
1
- -
-1
0 - 0
Ctg a -
1
0 -
-1 -
- 0 -

Келтіру формулалары

x


Sinx cos a cos a -sin a sin a -cos a -cos a sin a -sin a
Cosx -sin a sin a -cos a -cos a sin a -sin a cos a cos a
tgx -ctg a ctg a tg a -tg a -ctg a ctg a tg a -tg a
ctgx -tg a tg a ctg a -ctg a -tg a tg a ctg a -ctg a

Негізгі тригонометриялық тепе – теңдіктер

Sin2 a +Cos2 a = 1












Тригонометрия формулалары



















Арифметикалық прогрессия









Геометриялық прогрессия









A

b c

C B
a





Арифметикалық квадрат түбір:

мұндағы а = в2 , а ≥ 0, в ≥ 0

Арифметикалық квадрат түбірдің қасиеттері:









Виет теоремасы:



( x1, x2 мәндері теңдеудің түбірлері )

Келтірілген квадрат теңдеу:



Квадрат теңдеу:





D > 0 D < 0

шешімі болмайды


Квадрат үшмүше:



Квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу:



( квадрат үшмүшенің түбірлері )

Квадрат теңдеу түбірлерінің формулалары

Квадрат теңдеудің түбірлері Дискриминант мәні Квадрат теңдеудің түбірлері
Толымсыз квадрат теңдеулер ax2 = 0
( b = c = 0 ) - x1 =0,
x2 = 0
ax2 +bx = 0
( c = 0 ) - x1 =0,



ax2 +c= 0
( b= 0 )

- болғанда,

болғанда, теңдеудің шешімі жоқ.

Толымды квадрат теңдеулер Жалпы түрі:

ax2+bx+c=0
D=b2-4ac D > 0

D = 0

D < 0 Теңдеудің шешімі жоқ
b=2n
ax2+bx+c=0
D=n2-4ac D > 0

D = 0

D < 0 Теңдеудің шешімі жоқ

Келтірілген квадрат теңдеу:
ax2+px+q=0
мұндағы р=2k
D=k2-q D > 0

D = 0 x=-k
D < 0 Теңдеудің шешімі жоқ

Пікір жазу үшін

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ .