. 1.Кулжумурова Лаура Куантаевна
2.преподаватель математики второй категории
3. Актюбинский медицинский колледж
4. Актюбинская область г.Актобе
Служебный адрес: Шернияза 18 раб тел:40-04-82
Домашний адрес: 41 разъезд Кобланды –Батыра 30
Домашний телефон: 8-7132-988687

Тема занятия: Обратные тригонометрические функции

Цели занятия:
Образовательная- ознакомить учащихся с обратными тригонометрическими
функциями, с их свойствами и графиками, научить учащихся находить их
значения; закрепить умения и навыки учащихся по решению задач,
содержащих обратные тригонометрические функции.
Развивающая- развивать математическую речь, математическую логику,
внимание, память, мышление, кругозор, интерес к выполняемой работе.
Воспитательная- воспитывать трудолюбие, дисциплинированность, чувство
ответственности, добросовестности.
Тип занятия: комбинированный
Метод занятия: объяснительно- иллюстративный
Время занятия: 90 мин
Место проведения: аудитория
Внутрипредметная связь: тригонометрические функции
Межпредметная связь: физика
Оснащение занятия: раздаточный материал
Использованная литература: А. Абылкасымова. Алгебра и начала анализа.10 кл
Учащийся должен знать: определения обратных тригонометрических функций
Учащийся должен уметь: строить графики обратных функций

Структурно-логическая схема и хронокарта занятия

I Организационный момент- 3 мин
II Опрос домашнего задания- 10 мин
III Объяснение нового материала- 40 мин
IV Закрепление нового материала- 30 мин
V Подведение итогов занятия- 2 мин
VI Задание на дом- 5 мин

Ход занятия

I Организационный момент
А) преподаватель проверяет подготовленность учащихся в аудитории к занятию,
отмечает отсутствующих в журнале
Б) преподаватель дает мотивацию занятия
В) преподаватель знакомит учащихся с целью и планом занятия
II Опрос домашнего задания
Устный опрос
1. Какие функции называются основными тригонометрическими функциями?
2. Сформулируйте определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла?
3. Что называется тригонометрической окружностью?
4. Как называется кривая синуса, косинуса, тангенса, котангенса?

§7,стр 49-50,Упр В

№82.Докажите ,что периодом функции является число Т:


III Объяснение нового материала
Обратные тригонометрические функции
Учитывая существование обратной функции, рассмотрим обратные тригонометрические функции.
Арксинус и арккосинус.
I.Обратную функцию к функции обозначают: и читают «арксинус ».
Функция определена на отрезке является монотонно возрастающей, множество значений функции изменяется на отрезке .
График функции симметричен графику функции относительно прямой . Следовательно , прямая является осью симметрии.



Перечислим свойства функции
1) область определения- отрезок
2) множество значений-
3) -функция нечетная
4) функция монотонно возрастающая на
Для любого выполняется равенство
(1)
II.Обратную функцию к функции обозначают и читают «арккосинус х».
Функция определена на отрезке и является монотонно убывающей, множество значений изменяется на отрезке .
График функции симметричен графику функции относительно прямой . Прямая является осью симметрии.



Перечислим свойства функции :
1)область определения- отрезок
2) множество значений-
3) функция ни четная , ни нечетная;
4) функция монотонно убывающая.
Для любого выполняется равенство
Для любого верно равенство или
(2)
Примеры. Вычислим значения a) б)
a) по определению означает . Поэтому ,тогда
б)
Примеры. Вычиcлить значения a) б)
а) по формуле (2) имеем :
б)

.

Арктангенс и арккотангенс.

III.Обратную функцию к функции обозначают и читают «арктангенс x».
Функция определена на множестве действительных чисел и является монотонно возрастающей, множество значений изменяется на интервале .
График функции симметричен графику функции относительно прямой . Прямая является осью симметрии.



Перечислим свойства функции :
1) область определения- множество всех действительных чисел;
2) множество значений- интервал
3) - функция нечетная
4) функция, монотонно возрастающая.
Для любого выполняется равенство где .
(3)
IV. Обратную функцию к функции обозначают и читают «арккотангенс x».
Функция определена на множестве действительных чисел и является монотонно убывающей, множество значений изменяется на промежутке .
График функции симметричен графику функции относительно прямой . Прямая является осью симметрии.


Перечислим свойства функции :
1) область определения- множество всех действительных чисел,
2) множество значений- интервал
3) функция ни четная, ни нечетная
4) функция, монотонно убывающая.
Для любого выполняется равенство

Для любого верно равенство
(4)
Примеры. Вычислить значения
а) б)
в) .



IV Закрепление нового материала
Решение задач
№85.Вычислите:


№86. Найдите значения выражений:





№87. Сравните:




Историческая справка
-учащиеся подготовили реферат
-учитель рассказывает о истории возникновения обратных тригонометрических функций.
Историческая справка
Тригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других.
В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабсками учеными. В трудах по астрономии Ариабхаты появляется термин «ардхаджива». Позднее привилось более краткое название «джива», а при переводе математических терминов в XII в. Это слово было заменено латинским «sinus».
Принципиальное значение имело составление Птолемеем первой таблицы синусов(долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии.
Слово косинус –это сокращение латинского выражения «complementy sinus»(синус).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени.Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X веке Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. Т. Бравердином, а позже астрономом Региомонтаном.
Первым автором, который использовал специальные символы для обратных тригонометрических функций был, Бернулли. В 1729 и в1736 годах он писал as и at соответственно вместо arcsin и arctg.Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г. в работах венского математика Шерфера известного французского ученого Лагранжа.Приставка «arc» происходит от латинского «arcus»(лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x, например,- это угол (а можно сказать и дуга) синус которого равен x.

Кроссворд на тему «Тригонометрия»

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

1. Кофункция тангенса.
2. От него зависит значение функции.
3. Мера измерения угла.
4. Какой функции недостает: sin x, cos x, ctg x….
5. Значение тригонометрических функций повторяется через.
6. Cos x - тригонометрическая…..
7. Как называется график функции sin x?
8. (0;П) - что это?
9. Есть в каждом слове, у растения а также есть у уравнения.
10. Предложение, требующее доказательства.
11. Ось ОУ.
12. Ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α.
13. Sin x - нечетная функция, а cos x -......
1 к о т а н г е н с
2 а р г у м е н т
3 р а д и а н
4 т а н г е н с
5 п е р и о д
6 ф у н к ц и я
7 с и н у с о и д а
8 п р о м е ж у т о к
9 к о р е н ь
10 т е о р е м а
11 о р д и н а т
12 с и н у с
13 ч ё т н а я

Задание «Заполни пропуски»
На экране появляется задание:

Заполни пропуски
Вариант 1 Вариант 2
1. Арккосинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcos… = …, если cos… = … 1. Арксинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcsin … = …, если sin … = …
2. arcsin (-a) =… 2. arcos (-a) = …
3. cos(arcos…) =… , если … x … 3. sin(arcsin …) = …, если … x …
4. arcsin(sin…) = … , если IxI … 4. arcos(cos …) = … , если … x …
5. arcsin x + arcos x = … , если IxI … 5. arcsin x + … = , если … x …

Учащиеся заполнили в тетрадях пропуски.
Поменяйтесь тетрадями.
Для быстрой проверки на экране появляется зто задание с заполненными пропусками:

Заполни пропуски
Вариант 1 Вариант 2
1. Арккосинусом числа a, a , называется такое число α, α косинус которого равен a: arcos a = α, если cos α = a 1. Арксинусом числа a, a называется такое число α, α синус которого равен a: arcsin a = α, если sin α = a
2. arcsin (-a) = - arcsin a 2. arcos (-a) = π – arcos a
3. cos(arcos x) = x , если - 1 x 1 3. sin(arcsin x) = x, если -1 x 1
4. arcsin(sin x) = x , если IxI
4. arcos(cos x) = x , если 0 x π
5. arcsin x + arcos x = , если IxI 1
5. arcsin x + arcos x = , если -1 x 1

V Подведение итогов занятия
В заключение нашего урока ребята сочинили стихотворение.
Тригонометрия - наша стихия,
В ней знатоки мы лихие
И результаты лучшие дадим.
Так знайте же - синус непобедим.

-Комментируются оценки учащимся.
-Вопросы учащихся по пройденной теме.

VI Задание на дом
-Конспект изучить §8,стр 53-59.А.Е.Абылкасымова «Алгебра и начала анализа» 10 кл
-Решить задачи Упр B

№90.Вычислите:





Раздаточный материал








Заполни пропуски
Вариант 1 Вариант 2
1. Арккосинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcos… = …, если cos… = … 1. Арксинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcsin … = …, если sin … = …
2. arcsin (-a) =… 2. arcos (-a) = …
3. cos(arcos…) =… , если … x …
3. sin(arcsin …) = …, если … x …

4. arcsin(sin…) = … , если IxI …
4. arcos(cos …) = … , если … x …

5. arcsin x + arcos x = … , если IxI …
5. arcsin x + … = , если … x …

Заполни пропуски
Вариант 1 Вариант 2
1. Арккосинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcos… = …, если cos… = … 1. Арксинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcsin … = …, если sin … = …
2. arcsin (-a) =… 2. arcos (-a) = …
3. cos(arcos…) =… , если … x …
3. sin(arcsin …) = …, если … x …

4. arcsin(sin…) = … , если IxI …
4. arcos(cos …) = … , если … x …

5. arcsin x + arcos x = … , если IxI …
5. arcsin x + … = , если … x …

Заполни пропуски
Вариант 1 Вариант 2
1. Арккосинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcos… = …, если cos… = … 1. Арксинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcsin … = …, если sin … = …
2. arcsin (-a) =… 2. arcos (-a) = …
3. cos(arcos…) =… , если … x …
3. sin(arcsin …) = …, если … x …

4. arcsin(sin…) = … , если IxI …
4. arcos(cos …) = … , если … x …

5. arcsin x + arcos x = … , если IxI …
5. arcsin x + … = , если … x …

Заполни пропуски
Вариант 1 Вариант 2
1. Арккосинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcos… = …, если cos… = … 1. Арксинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcsin … = …, если sin … = …
2. arcsin (-a) =… 2. arcos (-a) = …
3. cos(arcos…) =… , если … x …
3. sin(arcsin …) = …, если … x …

4. arcsin(sin…) = … , если IxI …
4. arcos(cos …) = … , если … x …

5. arcsin x + arcos x = … , если IxI …
5. arcsin x + … = , если … x …

Заполни пропуски
Вариант 1 Вариант 2
1. Арккосинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcos… = …, если cos… = … 1. Арксинусом числа a, a , называется такое число α, α … которого равен a: arcsin … = …, если sin … = …
2. arcsin (-a) =… 2. arcos (-a) = …
3. cos(arcos…) =… , если … x …
3. sin(arcsin …) = …, если … x …

4. arcsin(sin…) = … , если IxI …
4. arcos(cos …) = … , если … x …

5. arcsin x + arcos x = … , если IxI …
5. arcsin x + … = , если … x … .