. Тема:

Решение некоторых иррациональных уравнений

Использованные литературы:
[1]. И. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин.
Лекции и задачи по элементарной математике, М., «Наука», 1974 г.
[2]. И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова.
Пособие для подготовки к единому национальному тестирование (ЕНТ) по математике.
Алматы, 2009 г.

Предисловие.
Чтобы избавиться от радикалов, которые приводят к появлению посторонних корней, чаще всего используется метод дважды возведения в квадратный степень для решения иррациональных уравнении
= (1)
Мне хотелось бы познакомить в и пунктах с одним из приемов решения урав- нения (1), который позволяет легко и быстро находить корень уравнении (1), и при этом
не появляется посторонний корень. А в пункте популизировать одно из методов (который в [2] назван как метод умножения на сопряженное) решении уравнении (1). Именно этот метод, считаю, является одним из важным ключом решения уравнении (1).
Пусть уравнение имеет вид
=с (с 0) (2)
Замечание. (2) рассматривается в [1] на страницах 320-322, в которых составляется система уравнения зависимых от неизвестных {u; }. Но для решения уравнения (2) не обязательно находить {u; }, а достаточно найти {u} или { }.
Решим уравнение (2). Для этого введем следующее обозначение
=
(3)
= (c- )
Знак «+» или «-» в системе (3) берется соответственно в зависимости знака «+» или «-»
в уравнении (2). Находим в системе (3)
= -
(4)
=с +2с + -
Отсюда,
= , (с- )= (5)
Уравнение (2) эквивалентно системе (3), где правая часть определяется равенством (5)
Поэтому для решения уравнения (2) нужно:
1) определить числы и (с- ) по формуле (5)
2) если в (5) хотя бы одна из или (с- ) отрицательное, то уравнение (2) не имеет решения, если в (5) 0 и (с- ) 0, то уравнение (2) имеет решение. И для решения
уравнении достаточно решить одно из уравнении системы (3).
Замечание. Конечно, поставляя (5) в (4) можно составить уравнение
(6)
и сразу решить уравнение (6), но, при таком подходе может появиться посторонные корни.
Пример 1. ([1], стр.302, 9.13) Решить уравнение + =9
Решение. Сопоставляя с уравнением (2), определяем и
находим =5, с- =4. Оба числи положительные, значит, исходное уравнение имеет решение, далее =5, отсюда х=18.
Отв. {18}.
Пример 2. ([1], стр. 302, 9.16) Решить уравнение - =1
Решение. , и с=1. Определяем =4 0, -(с- )=3 0,
Решаем =4, получаем
Отв. {-3.5;2}.
Пусть уравнение имеет вид
=с (с 0) (7)
Введем следующее обозначение.
=с
(8)
=
Знак «-» или «+» в системе (8) берется соответственно в зависимости от знака «+»или
«-» в уравнении (7)

Из системы (8) получим:


отсюда,

т. е.,

где определяется формулой
(9)
Отсюда, можно сделать следующий вывод:
Вывод Для решения уравнения
+ =с (с 0) (10)
1) определяем число по формуле (9)
2) составляем систему уравнении
=
(11)
=
если в системе (11) хотя бы одно из чисел в правой стороне отрицательное, то уравнение (10) не имеет решения.
Если в системе (11) оба числа в правой стороне не отрицательные то, для решения урав-
нения (10) достаточно решить одно уравнение в системе (11).
Вывод Для решения уравнения
- =с (с 0) (12)
1) определяем число по формуле (9)
2) составляем систему уравнения
=
(13)
=
если в системе (13) хотя бы одно из чисел в правой стороне отрицательное, то уравнение (12) не имеет решения.
Если в системе (13) оба числа в правой стороне не отрицательные то, для решения урав-
нения (12) достаточно решить одно уравнение в системе (13).
Пример 3. ([1], стр. 287) Решить уравнение. + =7
Решение. Сопоставляя с (10), определяем: .
Находим . Составляем систему (11)
=3,5 0,5

=3,5 0,5
Оба числа в правой стороне положительные, тогда исходное уравнение имеет два корня
1) =3, =4.
2) =4, =11.
Отв. {4;11}.
Замечание. Уравнении вида
+ =с (с 0) , (14)
используя равенство (9), (11) можно получить формулу:
=
=
Соблюдая условие вывода , можно проще получить корень уравнения вида (14).
Пример 4. ([1], стр.302, 9.17) Решить уравнение. - =1
Решение. . Из (9) получим = , далее
=
=
Система имеет решения при знаке «+». Из уравнения =2 получим: .
Отв.{0; 2}.
Пример 5 ([2], стр. 132) Решите уравнение: - =3.
Решение. Из (9) = . Составляем систему
=
=
При знаке «-» правая сторона второго уравнения отрицательное число. Поэтому исходное уравнение имеет решение при знаке «+». Второе уравнение проще. Выбирая его, получим
или
Отв.{ }.
Пример 6 ([2], стр. 132). Решить уравнение
Решение. Из (9) получим =25. Составляем систему
=-4 5
=8 5,
которая имеет решение при нижнем знаке, получим =1 или =2
Отв. {2}.
Рассмотрим уравнение вида
= (15)
Для его решения нужно 1) Решить уравнение =0
а) если полученные корни удовлетворяют уравнение =0, то получим
первоначальные корни уравнения (15)
б) если полученные корни не удовлетворяют уравнение =0, то при =0 уравнение (15) не имеет решения
2) При 0, достаточно решить одно уравнение в системе
=
= (16)
При условии: (область допустимых значении – ОДЗ)

0
0 (17)
Знак «+» или «-» в системах (16) и(17) берется соответственно в зависимости от знака «+» или «-» в уравнении (15).
Пользуясь равенством = , уравнение (15) можно привести к системе
=
=
Отсюда получается система (16).
Пример 7. ([2],стр. 131) Решить уравнение
Решение. =0, не удовлетворяет исходное уравнение. Составим систему


Определим ОДЗ



ОДЗ: . Из 4 получим , которое не удовлетворяет ОДЗ
Отв.{ }.
Пример 8. ([2],стр. 136) Решить уравнение +1
Решение. При =0, получим =-0,5, удовлетворяет исходное уравнение.
При +1 0, ОДЗ


-
т. е. -1 , составляем систему


Из второго уравнения получим
Отв. {- }.
Заключение.
Эффективность изложенного способа осуществляется, если корни иррационального уравнения является иррациональным числом, что создает трудность проверке правильности полученного корня (пример 5)
При использовании метода или способа решения уравнения не должно быть сомнения о полученном корне уравнении, т. е. появлении посторонних корней. Считаю, что выбранный метод или способ должен быть точным, как сама наука математика!
В общем случае, выбранный метод зависит от данного примера.
Пример 9. Решить уравнение. + =5.
Решение. Для решения исходного уравнения лучше выбрать геометрический метод. Нарисуем прямоугольный треугольник. Смотрите на рисунок.

Из рисунка видно, что площадь треугольника
5 равна 0,5  =0,55 , отсюда.
Значит, метод решения иррациональных уравнения
следует исследовать .