. Тема урока: Вписанные в окружность и описанные вокруг окружности многоугольники.
Первый урок. Четырехугольники, вписанные в окружность и описанные
вокруг окружности.

Цели урока:
• Дать понятие многоугольника, вписанного в окружность, многоугольника, описанного вокруг окружности.
• Сформулировать и научить доказывать теоремы об окружностях, описанных вокруг выпуклого четырехугольника и вписанных в выпуклый четырехугольник.
• Научить решать задачи на применение свойств четырехугольников, вписанных в окружность и описанных вокруг окружности.

Задачи урока:
1. Образовательная: углубление и систематизация теоретических знаний, отработка умений и навыков;
2. Развивающая: способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы. Содействовать развитию логического мышления и творческой активности учащихся. Повышать средствами информационных технологий позитивную мотивацию учащихся на изучение геометрии.
3. Воспитательная: побуждать интерес к занятиям математикой, чтению
математической литературы. Воспитывать корректность, коммуникабельность,
умение работать в группах и индивидуально, воспитывать чувство
товарищества, чувство ответственности, побуждать учеников к само –
взаимоконтролю.

Тип урока: урок изучения новой темы

Средства обучения: интерактивная доска

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

1.Устный опрос:

а) Что такое
- ломаная
- многоугольник
- выпуклый многоугольник
- невыпуклый многоугольник
- правильный многоугольник
- внешний угол многоугольника
- угол многоугольника
- диагонали многоугольника

б) Формула для нахождения
- числа диагоналей n-угольника, исходящих из одной вершины
- общего числа диагоналей n-угольника
- суммы углов многоугольника
- суммы внешних углов n-угольника
- угла правильного n-угольника.


2.Задачи. № 201
Найдите число сторон многоугольника , если каждый его угол равен: 1)1400;2)1500;3)1680.


140n = 180(n-2)
140n = 180n – 360
140n -180n = -360
-40n = -360
n = 9
150n = 180(n-2)
150n = 180n – 360
150n -180n = -360
-30n = -360
n = 12
168n = 180(n-2)
1680n = 180n – 360
168n -180n = -360
-12n = -360
n = 30

№ 203. Вычислите сумму углов правильного:
1) четырехугольника; 3) десятиугольника;
2) пятиугольника; 4) двенадцатиугольника.

(4-2)1800=3600 (10-2)1800=14400
(5-2)1800=5400 (12-2)1800=18000

III. Объяснение нового материала


Из курса геометрии 8 класса вы знаете, что вокруг любого треугольника можно описать окружность , а также в любой треугольник можно вписать окружность. Теперь , естественно, возникает вопрос: можно ли описать окружность вокруг выпуклого четырехугольника и вписать окружность в четырехугольник ? Оказывается, не в любой выпуклый четырехугольник можно вписать окружность и описать окружность вокруг выпуклого четырехугольника можно не всегда.
В каких случаях это возможно? На эти вопросы ответы мы находим в следующих теоремах.

Теорема 18. Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна 1800.
Дано:

ABCD-вписанный четырехугольник,
-углы четырехугольника ABCD

Доказать:


Доказательство.

измеряется половиной дуги , измеряется половиной дуги .
Значит,
Аналогично:
Теорема доказана.

Теорема 19 (обратная предыдущей). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то вокруг него можно описать окружность.

Теорема 20. Суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника, описанного вокруг окружности, равны.

Дано:

ABCD – описанный четырехугольник,
K, L, M, N – точки касания

Доказать: AB + CD = AD + BC

Доказательство.

AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD)
AD + BC = (AN + ND) + (BL + LC) = (AN + BL) + (LC + ND)
По свойству касательных, проведенных из одной точки:
AK = AN, KB = BL, CM = LC, MD = ND
Следовательно: AB + CD = AD + BC

Теорема 21 (обратная предыдущей). Если равны суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника, то в него можно вписать окружность.

IV. Закрепление теоретического материала

Выводы на основании теорем об окружностях, описанных вокруг выпуклого четырехугольника и вписанных в выпуклый четырехугольник:
1.В квадрат можно вписать и вокруг него описать окружность.
2. Вокруг прямоугольника можно описать окружность.
3. В ромб можно вписать окружность.
4. В прямоугольник нельзя вписать окружность.
5. Вокруг ромба нельзя описать окружность.
Во всех случаях центры вписанных и описанных окружностей лежат в точке пересечения диагоналей соответствующих четырехугольников.

В тетради задание №:207, № 209.

№ 207

Дано:
ABCD – ромб,

AB = BC = CD = AD = 10см
Найти: r

Решение:
Рассмотрим ∆ADB, AB = AD = 10 см,

По формуле S∆= ,




Так как ∆AOD = ∆AOB (AO – общая сторона, DO = OB, AD = AB)



С другой стороны, по формуле S∆= ,
(OK – r,ОК

12,5 = 5r
r = 2,5

Ответ: 2,5 см.

№ 209

Если величину меньших из углов четырехугольника обозначим через , то углы четырехугольника, взятых последовательно, будут равными . Противоположными углами четырехугольника являются углы с величиной . Так как , то по теореме 19 вокруг данного четырехугольника можно описать окружность.
Ответ: можно.

V. Домашнее задание:
1. теоремы 18-21
2. № 205, № 206.

VI. Итог урока. Оценивание. .