. 7-ГЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІЛЕРІ
Мұстиярова Алма
Қызылорда облысы
Жаңақорған ауданы
№209 Ә.Әбуталіпов атындағы орта мектеп
КІРІСПЕ
Математикалық есептерді шығара білуге үйрету және оған дағдыландыру үшін олардың есеп шығару процесіндегі іс-әрекеттерін басқарып, жұмысты белгілі бір жүйемен жүргізген жөн. Оқушыларды есепті шығара білуге үйрету процесі шығармашылық сипатта болуға тиіс. Ал, шығармашылық-зерттеушілік қызметтің бір формасы, оқушылардың зерттеушілік қабілетінің дамуы жайлы келелі мәселелерінің құрамды бөлігі болып табылады.
Математикалық есептерді шығару барысында бөлінгіштік белгілерінің алатын орны ерекше: 2,3,4,5,6,9,11,25-ке бөлінгіштік белгілері бар. Ал, 7-ге бөлінгіштік белгілері оқу бағдарламасына енгізілмеген. Әсіресе, олимпиадалық есептерді шешкенде, сондай-ақ кейбір есептерді шығару барысында 7-ге бөлінгіштік белгілері қажет-ақ.
Бұл тақырыпты алуыма себеп болған –олимпиадада 7-ге бөлінгіштікке байланысты күрделі есптің келуі. Сондықтан 7-ге бөлінгіштік белгілерін зерттеуді мақсат етіп қойып, үйірме жоспарына енгіздім. Жеңіл есептерді шығара отырып, күрделендіру арқылы саны 7-ге бөліне ме?-деген сұрақтың жауабын таптық.
ЗЕРТТЕУ БӨЛІМІ
§ 1. Натурал сандар және санау жүйелері.
Қандай да бір ортақ қасиеттері бар заттарды санау үшін қолданылатын сандарды натурал сандар деп атаймыз. Мысалы: 1, 2, 3, 4, … Натурал сандар жиыны “шектеусіз”. 1- ең кіші натурал сан, ал ең үлкен натурал сан жоқ. Натурал сандар жұп сандар және тақ сандар болып бөлінеді. 0, 2, 4, 6, 8 цифрларын жұп цифрлар деп, жазылуы жұп цифрлармен аяқталатын натурал сандарды жұп сандар деп атайды. 1, 3, 5, 7, 9 цифрларын тақ цифрлар деп, жазылуы тақ цифрлармен аяқталатын натурал сандарды тақ сандар деп атайды. Натурал сандарды жазуда қолданылатын цифрлар оңнан солға қарай есептегенде, тұрған орнына байланысты осы санның құрамында неше бірлік, неше ондық, неше жүздік, т. с. с. бар екенін көрсетеді, яғни санды разрядтық қосылғыштарға жіктей аламыз. Сонымен n таңбалы санын мынадай түрде жазуға болады:
Мысалы: , 6-жүздік, 7-ондық, 2-бірлік бар.
Біз қарастырып отырған бұл санау жүйесі – ондық санау жүйесі деп аталады. Жалпы ондық санау жүйесінен басқа да санау жүйелері бар. Мәселен, біздің эрамызға дейінгі ежелгі Вавилон жерінде алпыстық санау жүйелері қолданылған және оның ықпалы осы күндерге дейін сақталып келеді: сағатты 60 минутқа бөлуде, шеңберді 3600 –қа бөлуде, т. с. с.
Осы күндері электронды есептеуіш техникаларында екілік санау жүйесі қолданылады.
§ 2. Сандардың бөлінгіштік белгілері
Егер a және b сандары үшін c саны табылып, a=bc теңдігі орындалса, онда a санын b-ға қалдықсыз бөлінеді деп айтамыз. Оны былай жазады . Мұнда a- бөлінгіш, b- бөлгіш, c- бөлінді деп аталады.
Енді кейбір сандардың бөлінгіштік белгілерін келтірелік.
2-ге бөлінгіштік белгісі:
Егер санның соңғы цифры нөл немесе жұп болса, онда бұл сан 2-ге қалдықсыз бөлінеді.
Мысалы: 73404 саны – жұп сан болғандықтан 2-ге бөлінеді.
4-ке бөлінгіштік белгісі:
Егер санның соңғы екі цифры да нөл болса немесе соңғы екі цифрлардан құрылған сан 4-ке бөлінсе, онда бұл сан 4-ке қалдықсыз бөлінеді.
Мысалы: 816316 саны 4-ке бөлінеді, себебі соңғы екі цифр 16 саны 4-ке бөлінеді.
5-ке бөлінгіштік белгісі:
Егер сан нөл немесе 5 цифрларымен аяқталса, онда бұл сан 5-ке қалдықсыз бөлінеді.
Мысалы: 16045 саны 5 цифрымен аяқталып тұрғандықтан 5-ке бөлінеді
3 пен 9-ға бөлінгіштік белгісі:
Егер санның құрамындағы цифрларының қосындысы 3-ке (9-ға) бөлінсе, онда бұл сан 3-ке (9-ға) қалдықсыз бөлінеді.
Мысалы: 6816312 санының цифрларының қосындысы 6+8+1+6+3+1+2=27 саны 3-ке бөлінеді, ендеше берілген сан да 3-ке бөлінеді. 6816312 саны да 9-ға бөлінеді, себебі цифрларының қосындысы 27 саны 9-ға бөлінеді.
6-ға бөлінгіштік белгісі:3-ке бөлінетін жұп сандар 6-ға қалдықсыз бөлінеді.
Мысалы: 6816312 саны 3-ке бөлінеді және жұп сан болғандықтан 6-ға бөлінеді.
11-ге бөлінгіштік белгісі:
Егер санның құрамындағы тақ орындағы цифрларының қосындысы мен оның жұп орындарындағы цифрларының қосындысының айырмасы нөлге тең немесе 11-ге бөлінетін болса, онда бұл сан 11-ге қалдықсыз бөлінеді. [5,18-бет]
Мысалы: 6813312 саны 11-ге бөлінеді, себебі тақ орындағы цифрларының қосындысы 6+1+3+2=12 мен жұп орындағы цифрларының қосындысының 8+3+1=12 айырмасы 12-12=0.
§ 3 Қалдықтар арифметикасы
Оқулықтан біздерге 2-ге, 3-ке, 5-ке, 10-ға, 9-ға, 11-ге бөлінгіштік белгілері таныс. Сонымен қатар кей есептерді шығару үшін 7-ге бөлінгіштік белгілерін қолдануға тура келеді. 7-ге бөлінгіштік белгілерін қарастырмас бұрын «қалдықтар» арифметикасымен танысалық. [5,32-бет]«Қалдықтар» біздің өмірімізде үлкен роль атқарады. «Қалдықтар» арифметикасымен танысу арқылы біз кейбір есептерді жеңіл түрде шығара аламыз.
Анықтама: Сандар теориясында бөлгіш – «модуль»деп, ал модульге бөлгенде бірдей қалдықтар беретін сандар модулі бойынша салыстырмалы деп аталады.
15 º 8 (mod 7) . Мысалы: 8 = 7 × 1 + 1 15 = 7 × 2 + 1
8 және 15 сандарын 7-ге бөлгендегі қалдықтары бірдей, 1-ге тең, олай болса 8 және 15 сандары 7 модулі бойынша салыстырымды. Бұл былай жазылады: 15 º 8 (mod 7) .
Жалпы түрде, егер a = mc + r, b = md + r, мұндағы 0 £ r £ m болса, a º b(mod m). Егер 15º 8 (mod 7) болса, онда (15-8)M7 болатынын байқаймыз.
Яғни, егер a º b ( mod m) болса, онда a – b = ( m c + r ) - ( m d + r ) = m ( c – d ) M m .
Егер сандар m модулі бойынша салыстырмалы болса, онда олардың айырмасы m модульге бөлінетінін дәлелдедік.
Кері тұжырым да орындалады: Егер сандардыңайырмасы m-ге бөлінетін болса, онда бұл сандар m модулі бойынша салыстырмалы. Шынында да, егер бұл сандар m модулі бойынша салыстырмалы болмаса, онда m-ге бөлгенде әр түрлі қалдықтар шығар еді де, олардың айырмасы m-ге бөлінбес еді. Салыстырулардың бұл қасиетін біз, мысалы сандардың салыстырмалылығын дәлелдегенде пайдаланамыз:10 º 3 (mod 7) , себебі 10 – 3 = 7 M 7.
n1. 7-ге бөлінгіштіктің І-белгісі
Теорема: Егер берілген санның разрядтық қосылғыштарға жіктелуіндегі 10 негізін 3 негізімен алмастырғанда шыққан сан 7-ге бөлінсе (бөлінбесе), онда бастапқы берілген сан да 7-ге бөлінеді (бөлінбейді).
Дәлелдеу: Бұл теореманы дәлелдеу үшін тең қалдықтар теориясын пайдаланамыз: кез келген бүтін сан өзінің қалдығымен салыстырымды, яғни егер болса, онда . Мысалы: , ендеше . Яғни 10 санын 7 модулі бойынша 3 санымен алмастыруға болады.Кез келген саны берілсін. Бұл жіктелудегі 10 негізін 3 негізімен алмастырғанда жіктелуі шығады. Бірінші теңдіктен екінші теңдікті мүшелеп шегерейік. Сонда шығады. Ньютон биномын қолдансақ, жақша ішіндегі өрнектердің 7-ге бөлінетінін аламыз. Яғни, cондықтан ( N – P ) : 7 .
Бұдан егер P саны 7-ге бөлінсе (бөлінбесе), онда N саны 7-ге бөлінеді (бөлінбейді) және керісінше, егер N саны 7-ге бөлінсе (бөлінбесе), онда P саны 7-ге бөлінетіндегі (бөлінбейтіндігі) шығады.[3,271-бет]
Мәселен, 5236 санының 7-ге бөлінетінін дәлелдеу керек болсын. Ол үшін берілген санды разрядтық қосылғыштарға жіктейік:
5236 = 5•103 + 2•102 + 3•10 + 6.Бұл теңдіктегі 10 негізін 3 негізімен алмастырамыз.
Сонда 33 • 5 + 32 × 2 + 3 • 3 + 6 = 168Егер шыққан сан 7-ге бөлінсе (бөлінбесе) онда бастапқы берілген сан да 7-ге бөлінеді(бөлінбейді). 168 саны 7-ге бөлінгендіктен, 5236 саны да 7-ге бөлінеді.
7-ге бөлінгіштіктің бұл қасиетін үлкен сандар үшін бірнеше мәрте қолданғанда да күшін жоймайды.Мысалы: 629745137 саны 7-ге бөліне ме?
6 × 108 + 2 × 107 + 9 × 106 +7 × 105 +4 × 104 +5 × 103 + 102 +3 × 10 +7 жіктелуінде 10 негізін 3 негізімен алмастырайық. Сонда 6 × 38 + 2 × 37 + 9 × 36 +7 × 35 +4 × 34 +5 × 33 + 32 +3 × 3 +7=52486 саны шығады. Ол санды екінші рет тағы да қосылғыштарға жіктейік: 5 × 34 +2 × 33 +4× 32 +8 ×3 +6 =525
525:7=75 саны шығады. Яғни берілген 629745137 саны 7-ге қалдықсыз бөлінеді. 629745137:7=89963591
n2. 7-ге бөлінгіштіктің ІІ-белгісі.
Теорема: Егер берілген санның сол жағында орналасқан бірінші цифрын 3-ке көбейтіп, келесі тұрған цифрды қосса; шыққан санды тағы 3-ке көбейтіп, келесі цифрды қосса; т. т. осылайша ең соңғы тұрған цифрға дейін қайталап, сонда шыққан нәтиже 7-ге бөлінсе (бөлінбесе), онда берілген сан да 7-ге бөлінеді (бөлінбейді).Ескерту: Есептеуімізге жеңіл болуы үшін әр амалды орындап болған соң шыққан нәтижеден 7-ні немесе 7-ге еселік санды шегеріп тастауға болады.[5,33-бет]
Дәлелдеу: саны берілсін. Берілген ережеге сәйкес орындау арқылы:

аламыз. N санынан P санын шегерейік:
m cаны, бүтін оң сан болғандықтан, жақша биномының барлығы да 10-3 = 7 ге бөлінеді . Сондықтан P санының 7-ге бөлінгіштігі N санының 7-ге бөлінгіштігімен тығыз байланысты. [3,273-бет]
Мысалы: 48916 саны 7-ге бөліне ме?
Бірінші цифрды 3-ке көбейтеміз 4 • 3 = 12
12 санын 12 – 7 = 5 санымен алмастыруға болады. Яғни .
5-ке екінші цифрды 8-ді қосамыз
5 +8 =13 6(13 –7= 6)
6 • 3 = 18 4 (18 – 2 × 7 = 4) алмастырамыз, т. с. с.
Нәтижеге келесі цифрды қосамыз
4 + 9 = 13 6
6 • 3 = 18 4
4 + 1 = 5
5 • 3 = 15 1
1 + 6 = 7 Cоңғы нәтиже 7-ге тең. Ол 7-ге бөлінеді. Ендеше берілген 48916 саны да 7-ге бөлінеді.
Бұл ереженің оқушыға тиімділігі ойда тез, әрі жеңіл орындалуында.
Егер берілген санның соңғы цифрын 2-ге көбейтіп, соңғы цифрсыз жазылған бастапқы саннан шегергенде шыққан сан 7-ге бөлінсе, онда берілген сан да 7-ге бөлінеді.
1.Мысал: 364:7, себебі 36-2∙4=28:7.
2.Мысал: 1057 саны 7-ге бөлінеді, себебі, 105-2∙7=91:7.
Ескерту. Бұл белгілерді шыққан нәтижелер үшін бірнеше рет қайталағанда да күшін жоймайды.
3.Мысал: 2597 саны 7-ге бөлінеді, себебі , 259- 7 · 2 =245 24 – 5 · 2 =14 : 7
4.Мысал: 5217247 саны 7-ге бөлінеді, себебі
521724-2 ·7=521710; 52171-2 ·0=52171; 5217-2 ·1=5215;
521-2 ·5=511; 51-2 ·1=49. Ал 49 саны 7-ге бөлінеді, сондықтан 5217247 саны да 7-ге бөлінеді.
Егер берілген санның соңғы үш цифры мен қалған цифрларынан құрылған сандардың айырмасы 7-ге бөлінсе, онда берілген сан да 7-ге бөлінеді.
1.Мысал: 154 8652 саны 7-ге бөліне ме?
Соңғы үш цифрынан құрылған сан 652 мен қалған цифрлары 1548-дің айырмасын қарастырамыз.
1548-652=896 саны 7-ге бөлінеді, ендеше 1548652 бөлінеді 7-ге.
2.Мысал: 1050 саны 7-ге бөлінеді, себебі 50-1=49:7.
3.Мысал: 5217247 саны 7-ге бөлінеді, себебі 5217-247=4970 : 7
Ескерту: Қандай да бір санның 7-ге бөлінгіштігін анықтау үшін бір мезгілде бірнеше белгілерін қатар қолдануға да болады.
Мысалы: 389718 саны 7-ге бөліне ме?
Шешуі: 389718 санын соңынан бастап үш-үштен топтап, тақ орындағы санның алдына «минус», ал жұп орындағы санның алдына «плюс» таңбасын қойып мүшелеп қосамыз. Сонда +389-718=-329 шығады. Ал шыққан -329 санына 7-ге бөлінгіштіктің соңғы белгісін қолдану арқылы ол санның 7-ге бөлінетінін оңай көруге болады. 32-9·2=14, ал 14 саны 7-ге бөлінеді. Ендеше 389718 саны да 7-ге бөлінеді.
Кейбір көп орынды сандардың 7-е бөлінгіштігін анықтау үшін жоғарыда берілген қасиеттер ұзақ уақытты қажет етеді. Сондықтан келесі бір тиімді белгіні қолдануға да болады. [6,74]
Аксиома: Берілген санның сол жағында орналасқан цифрлардан бастап үш-үштен тотастырып, тақ орындағы сандарды «минус» таңбасымен, жұп орында орналасқан сандарды «плюс» таңбасымен алып, мүшелеп қосамыз. Сонда шыққан сан 7-ге бөлінсе, онда берілген сан да 7-ге бөлінеді.
Мысалы: 545629745137 саны 7-ге бөліне ме?
Ол үшін жоғарыдағы 4-белгі бойынша үш-үштен топтаймыз.
545 629 745 137 .
Сол жағынан бастап тақ орындағы 137 және 629 сандарын «минус», 745 және 545 сандарын «плюс» таңбасымен алып, мүшелеп қосамыз. Яғни 545 – 629 + 745 - 137 = 525 .
Сонда шыққан 525 : 7= 75 бөлінеді. Ендеше бастапқы сан да 7-ге бөлінеді.
545 629 745 137 : 7 = 77 947 106 448 .
2-мысал: саны 7-ге бөліне ме?
Шешуі: Бұл санның 7-ге бөлінетінін анықтау үшін жоғарыда көрсетілген 7-ге бөлінгіштіктің IV белгісін қолданамыз. санын соңынан бастап үш-үштен топтастырсақ
664 үштіктер тобы шығады.
Мұндағы 664 үштіктер тобы бір-бірімен жойылады. Сонда -33+333-331 қалады.
-33+333-331=-31, ал ол 7-ге бөлінбейді. Ендеше саны да 7-ге бөлінбейді.
Ал 7-ге бөлінгіштіктің осы белгісін мектеп оқушылары үшін де пайдалануға болады.
Мысалы: 389718 саны 7-ге бөліне ме?
Шешуі: 389718 санын соңынан бастап үш-үштен топтап, тақ орындағы санның алдына «минус», ал жұп орындағы санның алдына «плюс» таңбасын қойып, мүшелеп қосамыз. Сонда +389-718=-329 шығады. Ал шыққан -329 саны 7-ге бөлінеді. Ендеше 389718 саны да 7-ге бөлінеді.
ҚОРЫТЫНДЫ
Мектеп математика курсында 7-ге бөлінгіштік белгілері қарастырылмаған. Алайда, олимпиадалық есептерді шешуде бұл белгілерді қолдануға тура келеді.
Сондықтан, жоғарыда келтірілген теоремаларды есептерді шешуде қолдана аламыз. Бұл әдістерді тек олимпиадалық есептерді шешуде ғана емес, мектеп курсында бөлінгіштік белгілерімен қатар оқытуға да болады.
Әдебиеттер:
1. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. «Внеклассная работа по математике». Москва, « Просвещение », 1997.
2. Б. А. Кордемский. «Математическая смекалка». Москва, « Наука », 1991.
3. Петраков И.С. , С.И.Шварцбурд. «Математические кружки», Москва, «Просвещение», 1987.
4. Н.Н.Воробьев «Признаки делимости». Москва, «Наука», 1974.
5. Яремчук Ф. П. , Рудченко П. А. «Алгебра и элементарные функции» Москва, «Просвещение» 1971. .