. Методическое пособие по теме:
«Квадратные уравнения.
Приёмы устного решения квадратных уравнений».
Всякое знание остается мертвым, если в учащихся не развивается инициатива и самостоятельность: учащихся нужно приучать не только к мышлению, но и к хотению. Н.А.Умов
Методическое пособие к теме:
«Квадратные уравнения. Приемы устного решения квадратных уравнений».
Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств.
В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики; овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения; потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.
В данной работе предлагается теоретический материал по данной теме и представлена практическая часть по применению метода для решения уравнений и задач из сборника ЕНТ. Это будет полезно для планирования и подготовки уроков для учителей и для самостоятельного изучения учащимся как 8-9 классов, так и 10-11 классов при подготовке к ЕНТ и ПГК.
Содержание:
История возникновения
Приемы устного решения квадратных уравнений.
Приложение.
История квадратного уравнения.
Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax² = c и ax² + bx = c и привел методы их решения.
Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. и китайские математики примерно со II века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Евклид придумал более общий геометрический метод решения.
Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).
Вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 века учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Переходим к приемам устного решения квадратных уравнений.
Приём 1: «Способ переброски коэффициентов».
Рассмотрим квадратное уравнение:
ax² +bx +c=0, где a≠0.
Умножая коэффициент с на a, и заменив х на у получаем уравнение: y ² + by+ ac =0, равносильного данному.Его корни у_1 и у_2 найдём с помощью теоремы, обратной теореме Виета.Окончательно получаем
х_1= у_1/а и х_2= у_2/а.
При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Примеры. Решим уравнение 2x²-11x+15=0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: y²-11y+30=0.
Согласно теореме, обратной теореме Виета у_1=5, у_2=6.
Следовательно, х_1= 5/2 =2,5; х_2=6/2= 3.
Ответ: 2,5; 3.
Прием 2. «Свойства коэффициентов квадратного уравнения».
Пусть дано квадратное уравнение
ax²+bx+c=0, где а≠0.
Если a+b+c=0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то x_1=1, x_2=c/a. Доказательство . Разделим обе части уравнения на а≠0, получим приведенное квадратное уравнение x² + xb/a+ c/a=0. Согласно теореме Виета x_1+x_2=-b/a;x_1∙x_2=c/a.
По условию a+b+c=0, откуда b = -a -c. Значит, x_1+х_2=1+с/а, х_1∙х_2=1∙с/а. Получаем, х_1=1, х_2=с/а, что и требовалось доказать.
Если a-b+c=0, или b = c +a, то х_1=-1, х_2=-с/а.
Примеры. Решим уравнение 345x²-137x-208=0.
Решение. Так как a+b+c=0 (345-137-208=0),
то х_1=1, х_2=с/а=-208/345. Ответ: 1; - 208/345.
Решим уравнение 132x-247x+115=0.
Решение. Так как a+ b+ c=0 (132-247+115=0),
тох_1=1, х_2=115/132.

Приложение.
Вариант 1-7 задание(сборник тестовых заданий 2010 г)
Решите уравнение: 6 cos²х+5cos(π/2-х)=7
1(1-sin²х)+5sinх+1=0
6sin²х-5sinх+1=0
Пусть sinх=а, тогда 6а²-5а+1=0. С помощью «способа переброски» получаем уравнение
у²-5у+6=0, где по теореме Виетау_1=3, у_2=2. Следовательно, а_1=3/6=1/2; а_2=2/6=1/3.
Далее возвращаемся к замене и решаем уравнения: sinх=1/2 и sinх=1/3
х=〖(-1)〗^к π/6+πк, х=〖(-1)〗^кarcsin1/3+πk, кϵΖ.
Ответ: 〖(-1)〗^к π/6+πк, 〖(-1)〗^кarcsin1/3+πk, кϵΖ.

Вариант 1-15 задание(сборник тестовых заданий 2010 г)
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b_3+b_4=2(b_4+b_5).
Решение: b_3+b_3q=2(b_3q+b_3q²)→ 1+q=2q+2q²→2q²+q-1=0
«Способ переброски»:перебросим коэффициент 2 к свободному члену, получим
а²+а-2=0. Решая полученное уравнение методом коэффициентов, имеем а+b+с=0, значита_1=1; а_2=с/а=(-2)/1=-2. Следовательно q_1=-1;q_2=1/2.
Ответ: -1; 1/2.

Вариант 4-11 задание(сборник тестовых заданий 2010 г)
Решите уравнение: х^4+12х²=16-3х².
Решение: х^4+15х²-16=0→пусть х²=у→у²+15у-16=0. Метод коэффициентов: а+b+с=0, значит у_1=1, у_2=с/а=16/1=16. Вернемся к замене: х²=1 или х²=16→ х=±1; х=±4.
Ответ:-4;-1;1;4.

Вариант 5-12 задание (сборник тестовых заданий 2010 г)
Решите уравнение: 9^(х+1)+26•3^х-3=0.
Решение: Пусть 3^х=а, тогда уравнение примет вид 9а²+26а-3=0. «Способ переброски»:
х²+26х-27=0→по методу коэффициентов х_1=1, х_2=с/а=(-27)/1=-27. Получим а_1=1/9; а_2=(-27)/9=-3.
Вернемся к замене: 3^х=1/9 или 3^х=-3→ х=-2.
Ответ: -2.

Мы рассмотрели способы устного решения квадратных уравнений.Теперь необходимо научиться из нескольких решений выбирать наиболее оригинальное, оптимальное. Так вырабатывается опыт. .