. Сисенбаева Ш. Ж.
учитель математики
Федоровской СОШ № 1
Теректинского района
Западно – Казахстанской
области

Олимпиадная нумерология:
числа 2012 и 2013.

Будут ли реализованы цели математической олимпиады, будет ли она интересной, яркой и запоминающейся, - во многом зависит от текста работы.
Поэтому в качестве одной из задач олимпиады может быть задача, в условии которой фигурирует год проведения олимпиады.
Рассмотрим примеры таких задач с указанием класса, в котором они могут быть предложены:

1. (5-6-е классы). Запишите подряд 25 пятёрок: 555…5. Поставьте между всеми цифрами знаки арифметических действий так, чтобы в результате получилось число 2012.
2. (5-6-е классы). Запишите подряд 20 девяток: 999…9. Поставьте между некоторыми цифрами знаки арифметических действий так, чтобы в результате получилось число 2013.
3. (5-6-е классы). Вычисли:
4. (5-6-е классы). Марату в 2013 году исполняется столько лет, какова сумма цифр года его рождения. В каком году родился Марат?
5. (5-8-е классы). Сколькими способами можно заменить *** цифрами, чтобы число 2014*** делилось нацело на 2012?
6. (7-8-е классы). Вычислить значение выражения: .
7. (6-9-е классы). Вычислите: + + + + … + .
8. (6-7-е классы). Верно ли, что 2013 – простое число?
9. (8-9-е классы). Решите уравнение во множестве целых чисел:
.
10. (7-9-е классы). Вычислите: 2013 * 20122012 – 2012 * 20132013.
11. (7-9-е классы). Найдите значение выражения:
, если 2012+2013-2012*2013 = 1.
12. (8-9-е классы). На какую цифру оканчиваются числа: а) ; б) ?
13. (8-9-е классы). Может ли число вида содержать поровну всех цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ?
14. (8-9-е классы). Докажите, что выражение делится на 2013.
15. (8-9-е классы). Докажите, что выражение делится на 2012.
16. (8-9-е классы). Сравните: и .
17. (8-9-е классы). Сравните числа: + и .
18. (10-11-е классы). Решите неравенство: .
19. (10-11-е классы). Сравните: и .
20. (10-11-е классы). Определите знак выражения:
.

Ответы, пояснения, решения:
1. 5*5*5*5+5*5*5*5+5*5*5*5+5*5*5+5+5+5:5+5:5+5:5-5:5 = 2012
2. 999+999+99-9*9-9:9-9:9-9:9-9:9+9:9=2013
3.
4. 2013-(2+0+1+3)=2013-6=2007
5. Один способ *** = 012.
6. 1.
7.
.
8. Нет, так как 2013=2209-196=
II способ решения задачи: так как 2+0+1+3 делится на 3, то 2013 также делится на 3.
9.


.
Так как произведение трех последовательных чисел не может быть
нечетным, данное уравнение решений не имеет.
10. Пусть 2012 = а, тогда 20122012=10001*а, 2013=а+1,
20132013=10001а + 10001=10001(а+1). Следовательно, 2013*20122012-2012*20132013=(а+1)*10001а –а*10001(а+1)=0
11. Пусть 2012=х, 2013=у, тогда х+у-ху=1. Следовательно, х+у=1+ху.
Возведем обе части равенства в квадрат и получим:
. Значит, .
12.Так как нечетная степень числа 9 оканчивается цифрой 9, а четная степень _ цифрой 1, то число 9 оканчивается цифрой 1, а число 9 - цифрой 9.
13. Если запись числа содержит поровну всех цифр от 1 до 9, то оно делится на сумму этих цифр, т.е. на 45. Однако, число 2012, а следовательно, и не делится на 3, и поэтому ответ на вопрос задачи – отрицательный.
14. В решении используется формула . Следовательно
делится на 2013.
15. В решении используется формула . Следовательно, делится на 2012.
16. Сравним подкоренные выражения, т.е дроби
. Следовательно, .
Значит, и > .
17. Обозначим . И сравним и . Имеем: . Продолжим преобразования: , а . Следовательно, .
18. . Следовательно , т.е (х+3)(х-3)<0.
Решив это неравенство методом интервалов, получим .
19.

Следовательно:
20. - угол III четверти. Следовательно . Значит,
II способ решения:
т.к - угол I четверти. .